多边形的内角和（教学设计）

一、教学目标

1、知识与技能：

（1）探索并了解多边形的内角和公式。

（2）能对多边形的内角和公式进行应用，解决实际问题。

（3）掌握多边形的外角和定理，并能运用。

2、过程与方法：

（1）通过量，拼，分，类比，推理等教学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。

（2）通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。

3、情感态度与价值观：

（1）通过师生共同活动，培养学生创新精神，增强学生对数学的好奇心与求知欲。

（2）向学生渗透类比、转化的数学思想，并使学生学会与他人合作。

二、教学重难点

重点：多边形内角和定理与外角和定理的推导及运用。

难点：将多边形的内角和转化为三角形的内角和，找出它们之间的关系。

三、前置作业：

1、做一个不规则四边形学具；2、用尽可能多的方法探究多边形的内角和。

（目的：一是让学生结合自己已有的生活经验，尝试应用更多的方法来探究多边形的内角和。二是制作一个学具，通过操作学具来触发学生的思考，为重难点的突破打好基础。）
  四、教学过程：

（一）创设问题情境，导入新课

课件出示一组生活中的图片      

问题1：看完这组图片，你能抽象出哪些几何图形

问题2：生活中有如此多几何图形，你对它们有多少了解？

过渡语：我们知道三角形的内角和等于180度，正方形，长方形的内角和等于360度，那么四边形、五边形、六边形呢？

今天，老师想和同学们一起走进多边形的家园去揭开多边形的内角和的奥秘。”（板书课题）

二、合作交流、探究新知

活动一：探究 “任意四边形的内角和”

问题1：任意四边形的内角和是多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？

活动任务：用用尽可能多的方法探索四边形的内角和

活动要求：

1.先自己想，再小组交流。

2.然后每个小组派两名同学代表展示，并说出方法。

交流展示：一个小组上台展示探索过程，其他小组补充，并说出不同点。

组织学生以小组为单位进行展示，结合学生的回答教师适时搭建支架，引导学生发现在测量和剪拼活动中可能会产生误差，通过量或拼的方法得到的内角和可能不是360度，要告诉学生由此感受到作辅助线在解决几何问题中的必要性。

预设：这个环节学生可能出现“度量” 、“剪拼”、“作辅助线” 等等甚至更多的方法）

预设学生1、量：任意画一个四边形，量一量它的四个内角，算一算它们的和，

预设学生2、拼：把准备好的四边形纸卡纸，标上字母，然后把其中的三个内角剪下，拼到最后一个内角上，看看会有什么结果。

预设学生3、分：把四边形转化成三角形来求

预设：（方法三学生可能想不到）

预设问题2：能否把四边形转化成三角形来求呢？怎样进行转化呢？

活动任务：用用尽可能多的方法把四边形转化成三角形

活动要求：

1.先自己画，再小组交流画法。

2.小组交流之后，汇总小组意见

分析做法中有什么不同？有不同意见的吗？

交流展示：组织学生以小组为单位进行展示，结合学生的回答教师适时搭建支架，引导学生发现利用数学转化思想，把求多边形的内角和的问题转化为求若干三角形的内角和，关键是将n边形分割转化为三角形。

预设学生1：过四边形一个顶点,作四边形的一条对角线,把四边形分成两个三角形,这样进行转化得到结论四边形的内角和为：2×180°= 360°

预设学生2：可以在四边形的内部找一个点与四个顶点连接，将四边形分成四个三角形这样进行转化得到结论四边形的内角和为：4×180°－360°= 360°

预设学生3：可以在四边形的一边上找一个点与四个顶点连接，将四边形分成三个三角形这样进行转化得到结论四边形的内角和为：3×180°－180°= 360°

预设学生4：可以在四边形的外部找一个点与四个顶点连接，将四边形分成四个三角形这样进行转化得到结论四边形的内角和为：3×180°－180°= 360°

教师在学生展示完后提问：①在“量”、“拼”、“分”这几种方法中，哪种方法操作简                                               单又相对准确？②我们刚才找到了几种不同的辅助线的作法，它们的共同点是什么？

活动二：探究 “多边形的内角和”

问题1：类比四边形的内角和，你能算出五边形、六边形、七边形的内角和吗？

活动任务：用用尽可能多的方法探索五边形、六边形、七边形的内角和。

活动要求：自主探究，得出结论

交流展示：找代表上台展示探索过程，其他不同方法者补充。

预设学生1：可以利用三角形的内角和。过五边形一个顶点,作五边形的两条对角线,把五边形分成三个三角形,这样进行转化得到结论。

预设学生2：利用分割的方式，将五边形分割为1个三角形1个四边形；将六边形分割为1个三角形1个五边形或2个四边形；七边形的分割更多。

问题2：你能想出六边形和七边形的内角和各是多少吗？

①六边形的内角和：4×180°=720 °

②七边形的内角和：5×180°=900 °

问题3：多边形的内角和与多边形的边数有什么关系？

活动任务：让学生自己归纳总结，得出n边形的内角和公式为（n-2）·180

活动要求：自主探究，得出结论

交流展示：找代表上台展示探索过程，其他不同方法者补充。

难点分解：①从五边形、六边形一个顶点作对角线，可引多少条对角线？可把多边形分成多少个三角形？内角和是多少？②分成的三角形的个数与多边形的边数有什么关系？③n边形从一个顶点可作多少条对角线？可构成多少个三角形？内角和怎样求？为什么？④你能得出求n边形内角和的公式吗？

规律探究：

归纳结论：

n边形的内角和等于(n－2)×180°（n是大于等于3的整数）。

三、应用新知 尝试练习

分组竞赛、情感升华：

1、一个多边形每个内角都等于120°,它是（   ）边形?

2、一个多边形的内角和等于1800°，它是（   ）边形？

3八边形的内角和是（   ） 。

4、一个多边形的内角和是1440°，它是（    ）边形。

5、解决问题：例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系

活动任务：让学生利用并熟练掌握n边形的内角和公式（n-2）·180。

活动要求：通过做例题和练习来巩固新知识

交流展示：指名回答，其他不同者补充。

活动三：探究多边形的外角和

问题1：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少度？

问题2：如果将六边形换成n边形（n是大于等于3的整数），结果还相同吗？

活动任务：让学生归纳六边形以及n边形的外角和为360°

活动要求：

1、自主探究，得出结论

2、小组交流，汇总小组意见

交流展示：找代表上台展示探索过程，其他不同方法者补充。

师可拆分问题，使难点分解：

（1）任何一个外角与同它相邻的内角有什么关系?

（2）六边形六个外角加上与它们相邻的内角总和是多少?

（3）上述总和与六边形的内角和、外角和有什么关系？

探索预设：利用外角与相邻内角的互补关系，多边形的内角和公式即可求出外角和为360度。

四、课堂小结：

问题：本节课我们探索了多边形的内角和多边形的外角和有关知识接下来我们一起来梳理一下，我们可以从哪些方面来总结我们的收获呢？

预设1：学生能从知识、探索过程和思想方法三个方面进行总结；

预设2：学生不能有条理的从三个方面进行分类总结。

教师引导语预设：当学生不能有条理的从三个方面进行分类总结时，教师可结合现有的板书，引导学生回忆学习过程：探索过程可结合本节课的学习方式进行回忆：发现问题、提出问题、分析问题和解决问题（或具体的知识点学习：“量”、“拼”、“分”，方程的思想、转化的思想等。），体会数学中的类比和转化的数学思想。

教师补充解释：在知识总结中，教师补充：在多边形的内角和推导方法中，我们一般用多边形的对角线分割多边形

五、机动练习

拓展探究：

用一把剪刀，将一张正方形卡片一个角截去，剩下的卡片是一个几边形？它的内角和是多少？

六、作业