摘要   本文在概述国内外关于数学学科核心能力研究的基础上，提出构建我国数学学科核

心能力模型的视角，即在具有国际视野、体现我国特色的前提下，将数学教学看作数学活动的教学，以数学活动为视角，提出包括数学地提出问题、数学表征与变换、数学推理论证、数学建模、数学地问题解决和数学交流等六大数学学科核心能力。进而系统分析界定各个能力成分的内涵，提出研究展望。

关键词数学学科; 核心能力; 内涵与模型

作者简介  徐斌艳/华东师范大学课程与教学研究所教授( 上海200062)

一、研究背景

    我国基础教育改革与发展进入了一个新的阶段，实现教育公平、提高教育质

量、促进教育内涵发展成为当前的重要任务。［1］而建立健全教育质量保障体系

的重要途径之一便是研制具有国际视野、符合我国实际的学业质量标准。［2］纵

观国际实践经验，学科能力模型的构建成为学业质量标准研制的核心。全美数

学教师理事会( National Council of Teachers of Mathematics，NCTM) 1989 年颁布

的《学校数学课程与评价标准》首次提出学科核心能力的思想，该思想很快成为

世界各国研制教育标准的共识。本文旨在考察数学学科核心能力模型，因此重

点分析数学课程或者教育标准。在美国，数学核心能力思想始终伴随着数学教

育改革，NCTM2000 年公布的《美国学校数学教育的原则和标准》十分重视数学

理解和数学能力的相互关联性，提出了数学内容与能力并重的十个标准，其中5

大数学能力包括数学交流、问题解决、数学推理、数学联系与数学表征。［3］德国

2003 年颁布的针对十年级的数学教育标准也是典型的“能力”导向标准，它包含

数学过程、数学内容、能力水平三个维度，其中过程维度描述了6 大数学能力，即

数学论证、数学地解决问题、数学建模、数学表征的应用、数学符号、公式以及技

巧的熟练掌握和数学交流。［4］新加坡自2000 年以来，颁布以发展学生数学问题

解决能力为中心的数学教学大纲，大纲围绕问题解决这个中心提出了思考技能、

* 本文系教育部人文社会科学重点研究基地重大项目“义务教育阶段数学学科核心能力模型与测评

框架研究”( 项目编号: 11JJD880027) 阶段性成果。

数学推理、交流与联系等数学过程性技能。［5］日本2009 版初中《数学学习指导

要领》摈弃了给数理课程拖后腿的“轻松愉快”理念，明确提出了增加教学内容

和课时数，以确保学生切实掌握基础知识与基本技能，并强调在此基础上需要培

养学生的三大能力，即思考能力、判断能力和表达能力。［6］我国2004 年版《全日

制义务教育数学课程标准( 实验稿) 》首次使用了“数学思考”和“问题解决”这

两个概念，由此拓展了传统三大数学能力( 数学运算能力、空间想象能力、逻辑

思维能力) 外延， 2011 年最新颁布的《义务教育阶段数学课程标准》沿用了这种

提法。［7］从世界各国数学课程或者教育标准对数学核心能力的描述可见，数学

教育改革既重视严格数学意义上的数学能力的培养，又强调过程性、应用性的数

学能力的发展。

数学学科核心能力不仅成为世界各国数学教育改革的核心，也成为当今国

际数学教育研究的重要话题。尼斯( Mogens Niss) 认为，掌握数学就意味着拥有

数学能力，使得能在不同的数学情景下理解、判断和使用数学; 他提出8 种具有

严格数学意义的数学能力成分，即数学思维、提出并解决数学问题、数学建模、数

学推理、数学表征、数学符号化与形式化、数学交流、工具的使用。［8］尼斯的研究

成果近年来被广泛引用。图尔纳( Ｒoss Turner) 则强调数学核心能力应该是有助

于数学知识应用于实践领域的个人能力，他提出这种个人能力包括数学交流、数

学化、数学表征、数学推理与论证、数学策略性思维、使用符号、公式、技术语言等

6 大能力。［9］我国学者也对数学核心能力进行一定的研究。喻平从数学能力各

成分特征出发，将其分为数学元能力、共通任务能力、特定任务能力三类，它们又

涵盖了包括自我监控能力、数学阅读能力、数学概括能力等11 种具体能力成

分。［10］孙以泽从活动的主客体出发，将数学能力分为数学基础能力、数学核心能

力、综合性数学能力三类，具体包括数学观察力、数学抽象能力等9 种能力成

分。［11］来自不同视角的对数学核心能力的研究为我们构建数学学科核心能力模

型提供有意义的参考。

二、数学学科核心能力模型研究视角

本文研究数学学科核心能力模型旨在为我国学业质量评价提供有意义的、

可操作性的参考，因此一方面需要具有国际的视野，另一方面要反映我国数学教

育的优良传统。国际实践经验告知我们，数学核心能力模型的构建需要考虑数

学学科的本质特征，又要关注社会发展对数学教育的新要求。

数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学，尽管完成了的数学呈现的

是一种很强的演绎体系，但是前苏联著名数学教育家斯托利亚尔( Stolyar) 指出，

“数学在其建立过程中，也像其它在发展过程中的任何人类知识体系一样: 我们

必须先发现定理然后才能去证明它，我们应当先猜测到证明的思路然后才能作

出这个证明。因此如果我们想在数学教学中在某种程度上反映出数学的创造过

程，就必须不仅教学生‘证明’，而且教学生‘猜测’。”［12］荷兰数学家和数学教育

家弗赖登塔尔( Freudenthal) 对数学教育也有独到而深刻的观点，在他看来，数学

的根源是常识，人们通过自己的实践，把这些常识通过反思组织起来，不断地进

行横向或纵向的系统化。因此，他认为数学学习主要是进行“再创造”，或者“数

学化”的活动，这个“化”的过程必须是由学习者自己主动去完成的，而不是任何

外界所强加的。“在数学教育中应当特别注意这个数学化的过程，培养学生一

种自己获取数学的态度，构建自己的数学，数学化一个十分重要的方面就是反思

自己的活动。”［13］我国学者曹才翰认为，数学能力应该是顺利完成数学活动所具

备的而且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，是数学活动中形成和发展

起来的，并在这类活动中表现出来的比较稳定的心理特征。［14］显然，数学核心能

力应该是在数学活动中通过对数学知识的亲自探索和创造而发展起来的。换句

话说，数学教学应该是数学活动的教学，让学生在获得严格数学意义上的数学基

础知识、基本技能和数学思想方法的同时，积累丰富的探索、发明、创造、交流等

数学活动经验，这些也是我国最新发布的义务教育阶段数学课程标准中所倡导

的。因此数学核心能力与数学活动本质有着密切联系，我们的研究视角将聚焦

在数学活动本质上，当然也要考虑现代社会发展对于数学活动的要求。

三、数学活动本质及其数学能力

已有研究表明，［15 － 17］数学活动基本上分为三个阶段: 对经验材料的数学组

织; 对数学材料的逻辑组织; 对数学理论的应用。这三个阶段也反映了数学学科

的形成和发展途径。从教育角度看，在作为数学活动的数学教学中，教给学生的

不是死记现成的材料，而是让学生自己独立地发现科学上已经发现了的东西，同

时学会逻辑地去组织通过经验而得到的数学材料; 最后在各种具体问题上应用

数学理论知识。

( 一) 数学地组织经验材料

在数学教学中，学生会碰到大量的经验性材料，包括来自日常生活经验的各

种情景或问题; 来自其他学科领域( 如物理、化学、生物、地理等) 的各种对象和

关系; 或者是为了教学而特别准备的对象( 教材、教具等) ，或者是需要进一步一

般化和抽象化的数学材料( 数学对象) 。在这一阶段，学生需要借助于观察、试

验、归纳、类比、概括等手段，处理加工这些经验材料，寻找易于从数学角度理解

的事实依据或信息。例如面对数学材料“三角形内角和是180 度”，可以让学生

用量角器量或者裁剪等观察和试验的方法，认识这个数学材料，虽然它还不是证

明，但为寻找证明方法积累了经验。在数学活动中，可以选择学生熟悉的日常经

验进行讨论，例如在硕大的校园里，从教室到食堂有多条线路，我们选择哪条线

路，为什么这样选择，让学生从数学角度加以交流讨论。因此在这一数学活动阶

段学习数学，有助于学生形成或发展从数学角度提出问题、数学交流、数学表征、

数学建模等能力。

 ( 二) 逻辑地组织数学材料

当学生在经历从数学角度组织或积累经验材料后，还需要抽象出原始概念

和公理体系并在这些概念和体系的基础上演绎地建立理论。理论的演绎结构是

数学概念体系的一个重要特点，在教学过程中能够而且应当建立有助于向学生

揭示这个特点的教学情境。例如: 正方形是含有直角的菱形; 菱形是含有相等邻

边的平行四边形; 平行四边形是对边两两平行的四边形; 四边形是含有四边形的

多边形; 多边形是封闭折线所围成的图形; 图形是点的集合。这样从一个概念引

导到另一个概念，最后引导到用来作为原始概念的“集合”和“点”这两个概念。

逻辑组织还包括用演绎法来“证明”由归纳而形成的、以假设的形式叙述出来的

命题。在这一活动阶段，还应该重视数学活动中的归纳法的作用和一般的似真

推理的作用，包括寻求证明什么、从何证明、怎么证明等。因此，通过这样数学教

学过程，可以培养学生数学地解决问题、数学交流、数学表征、数学符号变换、数

学推理论证等能力。

( 三) 数学理论的应用

无论现代数学有多么抽象，它的根仍然深深地扎在实践之中，从过去的土地

测量和商业贸易，到现代的物理、生物、经济学等。当在科学、技术或实践活动甚

至历史的某个领域中产生问题时，数学方法往往有助于这些问题的解决。而要

解决这些非数学领域的问题，首先必须把它翻译成数学语言，经过这样翻译以后

问题就转化为数学问题，然后就能在严格的数学世界中解决抽象出的数学问题。

这一活动阶段强调，学生通过积极的思维活动由具体内容中抽象出数学问题。

而观察问题并由问题的具体内容抽象出它的数学方面的能力是通过长期练习培

养并巩固起来的。这一阶段重在培养学生学会把具体情况数学化，有助于培养

学生数学地解决问题、数学交流、数学推理论证、数学建模等能力。

基于上述分析，数学活动与若干数学能力密切相关，它们包括从数学角度提

出问题，数学表征与变换，数学推理与论证，数学地解决问题，数学交流，数学建

模等，因此这类数学教学，将有助于学生形成和发展这6 大核心能力。图1 所示

三个数学活动阶段与数学核心能力的关系。

图1 数学学科核心能力与数学活动关系图

四、数学学科核心能力内涵

数学活动的本质决定着学生数学核心能力的构成，在作为数学活动的数学

教学中，学生将形成并发展这些能力，下面详细分析这些能力的内涵。

( 一) 从数学角度提出问题

研究者们从不同视角探讨问题提出能力的内涵，并提出各自的认识或界定。

如斯尔佛( Silver) 从两个层面来定义问题提出: ( 1) 分析、探究一个给定的情境，

来产生一个新的数学问题; ( 2) 在问题解决的过程中对问题进行阐述( formulation)

和再阐述( reformulation) 而形成一个数学问题。［18］而且，问题提出可以发生

在问题解决前、问题解决时、或者问题解决后。我国台湾学者梁淑坤则将问题提

出定义为: 问题提出是用自己的看法想出一个数学问题。在问题提出的过程中，

问题提出者会用自己的数学知识和生活经验把情境、人物、事件、数字、图形等建

立关系并组织起来，提出一个数学问题。［19］基于上述分析，本研究将“从数学角

度提出问题的能力”界定为: 基于某情境或问题会产生自己新的数学问题，或者

在问题解决过程中或解决后产生新的子问题，并用数学语言表述出这些生成的、

创造的独立的新数学问题。

( 二) 数学表征与变换

上述对研究背景的分析已经表明，数学表征与变换是各国数学教育改革中

最受关注的核心能力之一。从相关研究上看，数学表征是指用某种形式表达数

学概念或关系的过程。数学表征有助于学生理解概念、关系或关联以及解决问

题过程所使用的数学知识。［20］学习者若要理解某个数学问题，就必须在这个数

学问题与一个更易理解的数学问题之间建立一个映射，而表征就是这个映射过

程。对照已有的研究成果，我们将数学表征能力界定为: 用某种形式，例如书面

符号、图形( 表) 、情景、操作性模型、文字( 包括口头文字) 等，表达要学习的或处

理的数学概念或关系，以便最终解决问题。

数学变换是指在数学问题解决过程中，保持数学问题的某些不变性质，改变

信息形态，将要解决的问题进行数学转化，使之达到由繁到简，由未知到已知，由

陌生到熟悉的目的。因此数学变换能力是指: 为了使得问题能够简化或成功解

决会使用改变信息形态的某种数学转化策略。

( 三) 数学推理与论证

推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。

数学推理则是指人们在数学观念系统作用下，由若干数学条件，结合一定的数学

知识、方法，对数学对象形成某种判断的思维操作过程。作为一类推理，它有其

自身的特点: 首先，数学推理的对象既不是生活中的常识，也不是社会现象，而是

表示数量关系和空间形式的数学符号; 其次，在某一个思考过程中，数学推理较

之一般推理更是环环相扣连贯进行; 并且，推理的依据主要来自问题所在数学系

统。数学高度的抽象性和逻辑的严谨性使得数学推理相对具有一定的难度。

论证离不开推理。在论证过程中，之所以能够根据已知判断的真确认另一

判断的真或假，正是因为在已知判断和所要论证其真或假的判断之间建立了必

然的逻辑联系，而后者是从前者通过推理形式推出来的，所以说论证过程必须应

用一个或一系列的推理，是推理形式的运用，推理是论证的工具。基于上述分

析，“数学推理论证能力”的具体内涵为: 通过对数学对象( 数学概念、关系、性

质、规则、命题等) 进行逻辑性思考( 观察、实验、归纳、类比、演绎) ，从而做出推

论; 再进一步寻求证据、给出证明或举出反例说明所给出推论的合理性的综合能

力。

( 四) 数学建模

数学建模经常与数学应用归在一起，但两者着重点不同，建模着重建立真实

世界与数学世界之间可逆的联系，关注抽象出数学问题与解决现实问题的过程。

由于数学建模不是线性过程，需要不断地从数学世界返回真实世界中检验结果，

完善模型。研究者布鲁姆( Blum) 提出数学建模是一个非线性的循环过程，它由

7 个步骤组成，［21］( 1) 理解现实问题情境; ( 2) 简化或结构化现实情景，形成现实

模型; ( 3) 将被结构化的现实模型翻译为数学问题，形成数学模型; ( 4) 用数学方

法解决所提出的数学问题，获得数学解答; ( 5) 根据具体的现实情景解读并检验

数学解答，获得现实结果; ( 6) 检验现实结果的有效性; ( 7) 反馈给现实情景。因

此，数学建模能力表现为: 面对某个综合性情景，能够理解并建构现实情境模型，

会将该模型翻译为数学问题，建立数学模型，然后会用数学方法解决所题数学问

题，再根据具体的情境，解读与检验数学解答，并验证模型的合理性。

( 五) 数学地解决问题

作为数学活动过程中重要的能力－ 数学地解决问题的能力，目前没有统一

的界定。例如美国NCTM 在2000 年颁布的标准中将数学地解决问题描述为: 通

过解决问题掌握新的数学知识; 解决在数学及其他情境中出现的问题; 采用各种

恰当的策略解决问题; 能检验和反思数学问题解决的过程。［22］德国在2003 年颁

布的数学课程标准中对数学地解决问题界定为: 拥有适当的数学策略去发现解

决问题的思路或方法并加以反思。［23］我国数学教育一直非常重视数学地解决问

题的能力， 2011 颁布的《义务教育数学课程标准》对数学地解决问题做了较为详

细的说明，强调通过数学课程学习初中学生应获得数学问题解决能力。［24］通过

文本分析，本研究将数学地解决问题界定为: 采用各种恰当的数学知识、方法与

策略，解决在数学或其他情境中出现的问题，并能检验与反思数学问题解决的过

程。

( 六) 数学交流

重视数学交流能力的培养是现代社会发展对数学教育的要求。目前世界许

多国家在其数学课程标准中明确提出了培养学生的数学交流能力的要求。如英

国国家课程在“关键概念”板块中指出“有效地数学交流能力”是三大能力之

一，［25］要求学生能理解和解释以多种形式呈现的数学，并以最合适的方式有信

心地交流数学。国际经济合作与发展组织( OECD) 主持的国际学生评价项目

 ( PISA) 也将数学交流能力作为数学能力评估框架中的一种，且将其描述为“伴

随交流过程的数学读写能力”。［26］我国2011 版义务教育阶段数学课程标准也明

确要求学生能与他人交流各自解决问题的算法和过程，并能表达自己的想法

等。［27］不仅各国数学课程标准等文本对数学交流能力做出说明，而且亦有丰硕

的研究成果为我们认识数学交流能力提供参考。本研究将数学交流能力界定

为: 能不同程度地以阅读、倾听等方式识别、理解、领会数学思想和数学事实; 并

能以写作、讲解等方式解释自己的问题解决方法、过程和结果; 针对他人的数学

思想和数学事实做出分析和评价。

综上分析，我们获得由6 大能力成分构成的数学核心能力模型及其内涵，现

汇总在表1 中。

表1 数学学科核心能力内涵

核心能力成分核心能力内涵

从数学角度提出问题

基于某情境或问题会产生自己新的数学问题，或者在问题解决过程中或解决

后产生新的子问题，并用数学语言表述出这些生成的、创造的独立的新数学问

题。

数学表征与变换

用某种形式，例如书面符号、图形( 表) 、情景、操作性模型、文字( 包括口头文

字) 等，表达要学习的或处理的数学概念或关系，以便最终解决问题。为了使

得问题能够简化或成功解决会使用改变信息形态的某种数学转化策略。

数学推理与论证

通过对数学对象( 数学概念、关系、性质、规则、命题等) 进行逻辑性思考( 观

察、实验、归纳、类比、演绎) ，从而做出推论; 再进一步寻求证据、给出证明或

举出反例说明所给出推论的合理性的综合能力。

数学建模

面对某个综合性情景，能够理解并建构现实情境模型，会将该模型翻译为数学

问题，建立数学模型，然后会用数学方法解决所题数学问题，再根据具体的情

境，解读与检验数学解答，并验证模型的合理性。

数学地解决问题

采用各种恰当的数学知识、方法与策略，解决在数学或其他情境中出现的问

题，能检验与反思数学问题解决的过程。

数学交流

能不同程度地以阅读、倾听等方式识别、理解、领会数学思想和数学事实; 并能

以写作、讲解等方式解释自己的问题解决方法、过程和结果; 针对他人的数学

思想和数学事实做出分析和评价。

五、研究展望

    当前，我国基础教育改革十分重视基于学科能力模型的学业质量标准的研

制，并正着力开展对学生的学业质量的测评。本文所研究的数学学科核心能力

模型为我国实践学业质量测评提供一种理论框架。为使数学学科核心能力模型

具有实践指导意义，本课题组正在依据国际经验与我国实际，梳理数学学科有代

表性的内容，并结合这些内容，将6 个数学学科核心能力细化为可观察的学生的

行为表现。另外，由于学生认知水平的差异，在处理数学内容时，他们会有不同

的数学核心能力的行为表现，这些行为表现的差异能反映学生能力水平的差异。

    本课题组试图对能力进行分层研究，梳理出三层能力水平; 同时，我们将结合数

学内容描述在不同能力水平上的不同的行为表现，并设计相应的测试任务，形成

核心能力测评框架，为我国深入开展基础教育的学业质量评价提供实践性参考。