关于数学练习作业设计的几点思考

木渎实验小学  吴金根

作业是教学活动不可缺少的部分，在教学中对学生的学习成长有许多的功能。一般地说，各种教学内容如果仅仅依靠讲授，而不配以一定数量的练习是不可能得到消化和巩固的，需要通过作业来巩固与延伸。现代教学愈来愈重视学生全面素质的提高，尤其是学生非智力因素的培养，而学生做作业的过程也是培养其非智力因素的一个重要的途径，通过作业能培养与发展学生。教师的教学效果如何，学生究竟掌握到什么程度，这些除课堂中通过提问得到及时反馈外，更多地是通过课内外作业的完成情况来反馈的。教师根据反馈的信息，进行查漏补缺，调整教学内容，改进教学方法，以便更有效地提高教学质量。

一、设计和布置作业应考虑其数量与质量。

设计与布置应根据学生的认知规律和身心发展规律进行，体现 “少、精、活”三个字。 “少”就是不得超量。要根据不同年龄学生心理特点，给适量的作业。“精”，就是设计作业必须符合课标要求，根据教学内容和学生实际水平，难易适度，作业题要有针对性，典型性。所谓 “活”，就是设计作业题要减少机械记忆和单调重复性作业，尽量多设计有启发性，趣味性，有利于发展智力的作业，调动不同层次学生的积极性，使他们都感到有兴趣。重复的练习也有必要，甚至从遗忘规律来看，愈是机械的无意义的内容愈是要经过反复练习，方可牢固掌握，但必须考虑，必须研究学生可承受性，作业成功的可能性，作业内容的趣味性、多样性。因为呆板、重复的内容容易使学生乏味，产生心理疲劳；量过多，难度过大均使学生产生畏惧感，产生消极情绪。作业设计对其信度、效度要求较高，难易要适中，数量要适当，符合学生实际，且作业完成的过程必须是学生完全 “自我劳动”的过程，否则，反馈的信息就不可能是准确的，作业也就失去了应有的意义。 

为了提高作业的效率，教师在设计学生作业的时候，须注意体现编排的逻辑特点，材料要加以选择。要发挥例题的教学、教育功能，布置适切作业的情境，练习某种技能要和将来应用这种技能的生活情境相似，就可以增进练习的效果。练习数学，除了练习试题之外，还要练习实际生活中所用到的应用题。在练习作业上，应当正确为主，而迅速次之，倘若只注意迅速，而不注意正确，其结果错误多，这和练习教学的目的并不符合。作业的时候应当避免无谓的手续，以免浪费时间。作业的时间要适合，练习时间太长，学生容易厌倦。作业的次数要多，方法要有变化，倘若在一节课的时间内，全部做作业，那么，练习的方法就要改变几次，以免学生感觉厌倦。作业的材料要适合个别差异，各个学生智力和学力互有差异，能力强的学生，可以做较多较难的作业，能力弱的学生，只能作较少较易的作业。教师要加强指导，盲目的练习是没有什么效果的。

二、设计和布置课堂作业要把握练习的层次。

一是探索新知，设计新旧密切联系的练习。要根据教学的内容，根据学生新知学习过程中的难点，建构新知识、新思维的支撑点，由旧导新，设计新旧知识有密切联系的内容，为学生学好新知作好知识的铺垫，迁移练习。

如，教学四年级“升和毫升”时，组织学生交流所带容器上的计量单位，感受升和毫升的大小。教学六年级用方程解“百分数的应用”问题时，为了帮助学生正确分析和构建数量相等关系，正确用含有X的式子表示数量，就要设计求一个数的百分之几是多少等相关问题的练习与训练。如：六年级下册第一单元中的例5“朝阳小学美术组有36人，女生人数是男生的80%。美术组男、女生各有多少人？新课教学前，可设计如下练习，训练学生思维，为迁移新知准备。组织学生口答列式或交流计算结果，并交流思考过程。

⑴学校数学兴趣小组有男生50，女生人数是男生的3倍。①数学兴趣小组一共有多少人？②男生比女生少多少人？③女生比男生多多少人？

⑵学校作文兴趣小组有男生50，女生人数是男生的40%。作文兴趣小组一共有多少人？男生比女生多多少人？女生比男生少多少人？

⑶学校科技兴趣小组有男生X人，女生人数是男生的40%。科技兴趣小组一共有多少人？男生比女生多多少人？女生比男生少多少人？

组织学生讨论交流，并用含有X的式子表示女生人数，再列式求问题。

二是破解难点，设计诱导型练习。进行新课时，如果学生碰到了困难，要为学生攻破难点，设计诱导型练习，使学生从中得到启示，进而理解知识。

三是巩固知识，设计发散型练习。组织学生通过发展性的练习，使学生牢固掌握知识。

如教学“长方体的表面积”后，教师可以从构建长方体开始，设计下面问题，组织学生练习与探索，进行问题解决，从而建构思维，形成问题解决能力。用铁丝焊接成一个长22厘米，宽18厘米，高10厘米的长方体框架，制作这个框架至少需要多少厘米的铁丝？如果用白纸糊这个框架，至少需要多少平方厘米的白纸？如果在它的四周涂上红色，涂色的面积是多少平方厘米？

 四是区别异同，设计对比型练习。教学教学中常会遇到一些貌似质异问题，为培养学生的分析辨别能力，教师要精心设计一些对比性练习，使学生在偏误中争辨，在比较中清思，形成正确的分析问题、解决问题的能力。

如教学“百分数的应用”时，学生常会出现“量率对应”偏误问题，乘法、方程误混，就可以设计下面的练习： 

1、⑴吴老师看一本管理书，已经看了全书的25%，正好是60页。这本管理书一共有多少页？

⑵吴老师看一本管理书，已经看了全书的25%，还剩下180页。这本管理书一共有多少页？

2、⑴五1班男生占48%，正好是24人。五1班一共有多少学生？

⑵五1班男生占48%，女生有26人。五1班一共有多少学生？

3、⑴看一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的2/5，两天一共看了52页。全书一共有多少页？

⑵看一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的2/5，第一天比第二天少看12页。全书一共有多少页？

⑶看一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的2/5，还剩下28页。全书一共有多少页？

五是根据知识间的内在联系，沟通知识。将具有一定联系的知识设计题组型练习，沟通知识、思维间联系，使学生对已学知识形成知识网络。

如，教学了百分数乘、除法后，可设计下面作业练习。

1、饲养场养鸡200只，养鸭250只。鸡的只数是鸭的百分之几？鸭的只数是鸡的百分之几？鸡比鸭少百分之几？鸭比鸡多百分之几？

2、饲养场养鸡200只，养鸭的只数是鸡的125%。饲养场养鸭多少只？

3、饲养场养鸡200只，是鸭的80%。饲养场养鸭多少只？

4、饲养场养鸡200只，比鸭少20%。饲养场养鸭多少只？

5、饲养场养鸭250只，比鸡多25%。饲养场养鸡多少只？

6、饲养场养鸭250只，鸡比鸭少20%。饲养场养鸡多少只？

六是设计变式练习，揭示数学思维本质。学生在解题过程中，常会出现一种定势，对叙述形式稍有变化题目，便无从下手，为使学生理解问题本质，可设计些变式题，让学生计算。

如：小明和小红进行跳绳比赛，小明跳了250个，小红比小明多跳了50个，小红比小明多跳了百分之几？

小明和小红进行跳绳比赛，小明跳了250个，小红比小明多跳了50个，小红跳的是小明的百分之几？

小明和小红进行跳绳比赛，小明跳了250个，比小红少跳了50个，小明比小红少跳了百分之几？

小明和小红进行跳绳比赛，小明跳了250个，比小红少跳了50个，小红比小明多跳了百分之几？

七是设计发展型练习，引伸思维拓宽。为使学生在知识上有新的突破，可适当补充一些引伸拓宽题，以培养学生的创造性思维。如教学“长方体的认识”后，把两个同样大小的，长、宽和高分别是30厘米、15厘米和6厘米的长方体饼干盒，叠加成一个长方体进行包装，用塑料线进行十字型捆扎一圈，至少要用多少厘米的塑料线？学生在探索、想象、验证的过程中，促进了思维和能力的发展。

三、设计和布置作业要关注练习的价值。

教师组织学生作业练习，往往只关注在解决练什么的问题，侧重知识内容，忽略明确的能力目的指向，练习时要注意有完整的达成形象的指向，选择恰当的练习方式，使练习的收效，特别是技能技巧练习的收效最大化。

课堂作业设计要考虑目标性。无论从目标的导向功能、反馈功能，还是从目标的激励功能和鉴定功能来说，练习设计都应该受教学目标的制约。

课堂作业设计要考虑少而精。科学安排练习数量与练习时间，改变“课内多讲缺练”的状况。要精心设计具有代表性、覆盖面大的练习，做到重质减量、择优筛选。尽可能将练习安排在课内完成。在课内无法完成当天练习的情况下，可将练习的重点难点在课内让学生完成，而将适中的练习留给学生回家处理，做到学有所得，练有收益。 

课堂作业设计要考虑思维性。作业和练习不能只设计形式单一、简单重复、直接套用的练习，而应围绕所学基础知识设计一些符合学生知识水平和思维水平的变式题、“智慧题”，等等，使学生不仅会做，而且会想。 

课堂作业设计要考虑新灵性。设计的练习，不能超出课标，但又是不落俗套，要新颖灵活。可以设计一些 “一看就懂，一做就错”的“上当”练习，提升学生的思维品质。也可设计符合学生生活实际的趣味题，等等，但切猎奇生僻，做到活而不偏，新而不怪。 

课堂作业设计要考虑整体性。用整体性观点来看，练习这个系统，它从属于整个教学系统，但练习本身作为一个完整的系统，又是由许多相互联系的组成部分构成的。设计时应从内容、从题目难度、从练习的功能、从题目的编排顺序、从题型等等，整体布局，实现练习系统中诸要素的最佳结合，使练习系统中各要素之间紧密配合，相互协调，相互补充，而不随意练练习习。 

课堂作业设计要考虑教育性。从内容、情景的构造上，根据数学的学科特点，渗透对学生进行人文教育，辩证唯物主义观点的启蒙教育。培养学生良好的学习习惯和独立思考、克服困难的精神。设计练习时可以用生动、富有教育意义的、有说服力的数据、统计材料以及一些数学史料，对学生进行爱祖国、爱社会主义、热爱中国共产党的思想教育。 

课堂作业设计要考虑启发性。充分调动学生的学习积极性，启发学生积极思考，活跃思维，触类旁通，举一反三，引导学生凭借已有的知识、经验，主动地获取新知识和解决新问题的有效途径。因此，设计练习时要有 “最近发展区”上多做文章，使学生通过练习学会一种方法，掌握一种思路，发现一种规律，或对解答其它问题有所启示，把知识的应用价值和智力价值有机地结合起来。 

课堂作业设计要考虑层次性。练习要顺应学生的认识规律，呈坡度、出层次，使学生从感知认识到熟练掌握，再创造性地运用，循序渐近，逐步加深。一是基本的、单向的、带有模仿性和稍有变化的习题，这是学生对知识进行内化的过程；二是基本题有较大变化（变式题）或带综合性和灵活性的习题，这是学生把知识转化为技能，对知识进行同化的过程；三是反映在思考性、创造性方面要求较高的习题，这是学生对知识进行强化、优化的过程。 

课堂作业设计要体现多样性。单一形式习题的反复练习，只是一种无差度的重复练习，虽然在某种程度上也能达到巩固知识的目的，但是由于这样的练习是机械的、枯燥乏味的，不可能激起学生的兴趣，不利于形成学生良好的持久记忆，更不利于发展学生的数学思维能力。因此教材上的练习需要补充、删改、加强。从题型来看，应补充填空、选择、判断、改错、补缺、看图编题、看题绘图等题型；从形式来看，可补充求同练习和求异练习，顺向练习与逆向练习，分化练习与同化练习，类比练习和对比练习，以及观察练习、操作练习等等；从结构来看，要根据一定的目的，设计一些题组让学生练习，使知识系统化、网络化、集成化。总之，我们应该设计一些形式多样的练习，从而引起并保持学生的练习兴趣，使他们从不同的途径和角度去加深理解知识和巩固知识。

课堂作业设计要体现周期性。根据学生的遗忘规律，对已经学过、练习过的知识要经常设计一些以新带旧、新旧结合的题目让学生练习，防止识记、思维、技能等消退。必要的反复与机械的、多余的重复不同，它对于巩固知识和技能是极为重要的，但是要注意反复练习的合理分布，因为，适当的分散练习比过度的集中练习更为优越。因此，教过新知识之后，要进行较集中的练习，以后适当间隔一段时间后又要再进行类似的练习。随着新知识巩固程度和熟练程度的提高，可以逐步延长间隔时间，并可采用以新带旧的方式保持经常性的练习。 

课堂作业设计要关注承受性。有困难，才有克服困难的机会。有挑战，才有创造。作业练习要根据学生学习的状况，在熟练掌握“双基”的前提下力能胜任的，设计有一定难度的习题，而不是轻而易举就能回答的问题。如，设计些隐蔽条件的设置，设计些较为复杂的综合问题等，让学生通过审题、剖题、分析、联想等一系列紧张思维活动才能找到解决问题的突破口。但要注意，要把握作业的难度系数，作业不能超越数学课程标准和教材内容。切忌高难题，特别是在布置课外作业中，不断加码，无限拔高，这势必酿成劳而不获的不良后果。如果布置作业不符合学生实际能力和需要，过难，过深，学生花了时间，得不到结果，就会使他们的兴趣，情绪受到影响，影响作业质量。另外，教师批改费时费力，检查作业和讲评作业费时太长，使进行新课的时间相对减少，导致教学高耗低效，无效，使教学形成一个“恶性循环”，产生学生负担过重弊端。在布置富有难度、挑战性的习题时，可实施分层要求，不要“全民皆兵”，让有能力的学生，有兴趣的学生去探索，去问题解决，以获得真正意义的“因材施教”。

课堂作业设计要关注因材施教。在总体把握教学目标的前提下，设计练习要以中等生为着眼点，面向全体学生，配备好必会练习和自选练习，既给优等生设计提高性的练习，又给后进生设计辅导性练习。对思维发展弱，学有困难的学生，可以适当削减作业题量，对有一定难度，个人不能完成独立解决的习题，教师可以适当指点，扶学生完成练习。 

课堂作业设计要关注重点、难点和关键点。数学知识、思维和问题解决技能是一个系统性极强的一个系统，有时需要教师组织学生对某些内容、思维进行重点专项训练，帮助学生扫除思维障碍，形成思维技能，为整体的系统的解决问题，提供保证。新授课的练习，是理解巩固新知识，是由懂到会再到思维建构的重要教学活动。设计作业练习题时要注意根据新授课内容，安排单项练习，让学生加深对知识的理解。要抓住重点、难点、关键内容，安排集中练习，启发学生发现规律，掌握关键。要针对易锗易混知识，有意铺设锗混点，提高学生的判断能力，使他们全面完整地理解掌握知识。要适当引伸，举一反三，发展学生的思维，培养他们的问题解决能力。

如，教学“小数乘法”，就可以设计看因数说积里的小数位数。教学“小数除法”，就可以设计把小数除数转化为整数，看商里的小数点位置的专项训练。解分数、百分数问题，可以设计寻找数量间的相等关系的专项训练，等等。

在练习课的练习安排中，要抓住单元或章节的知识系统，有单一到综合，由简单到复杂地展开。同时，要针对学生新课练习中所存在的一些问题，设计相关练习进行重点训练。对相近、相混的知识要集中练习，组织学生在比较中正确把握只数，清晰解题思路，形成问题解决能力。要致力整合和拓展学生的解题思维，培养学生的问题解决能力。随着学生知识的不断积累，思维方式的不断拓展，问题解决的能力也会随之增强，为此，练习设计时应关注学生“一题多解”思维的培养，精心设计一些学生可以综合应用知识，采用多种思维方式和方法解决问题的习题，提升学生的思维品质。

在设计和组织学生练习作业时，要多关注学生的时常发生的“误解”、“错解”题，并根据学生练习作业情况，将“误解题”“错题”集中进行辨析练习，以帮助学生梳理知识，清理思维，准确方法，正确解题。从小学生的年龄特点看，由于数学知识抽象性的特点，学生在领会知识的过程中，尽管教师、教材为他们提供了一定的感性材料，但毕竟学生理解知识所依据的感性基础还是比较贫乏的’，所以他们在运用知识作练习时，辨别知识的能力较弱，以至在解题中产生这样或那样的错误。这时可把有代表性的错题集中起来，让学生进行判断，辨析的练习。使错误的知识得到及时纠正，正确知识得到肯定、强化、巩固，辨别知识的能力得到提高。 

课堂练习设计要注意练习方式的多样性。教师设计练习和组织学生进行练习作业时，练习目标要明确，练习方法要正确，练习方式要丰富，练习速度要合理，练习时间分配要恰当，练习质量要求要严格。学生明确了练习的目的和要求，有助于提高进行练习的主动性和积极性，有助于启动完成练习的内因。学生便会更加自觉地完成练习，练习效果自然就会提高。

学生掌握了正确的练习方法，可以避免盲目的尝试过程，减少练习执行次数，节省时间，从而提高练习效果。在小学阶段，儿童无意注意占主导地位，如果长周期的进行无变化练习活动，不能引起学生的注意，反而容易使学生分散注意。而丰富的练习方式则充分利用了刺激物的所有特点去吸引学生的注意，保持兴趣，而且还可以培养学生灵活运用知识的技能。

例如，教师把文本题可以转化为现场生成题，使学生在鲜活的情景中探索研究，进行问题解决。如，教学“百分数的应用”中“求一个数是另一个数的百分之几”“求一个数比另一个数多（少）百分之几”时，我请一位学生上讲台，并提问：你的身高是吴老师的百分之几？（学生困惑）教师引导学生讨论所需要的信息，组织学生猜测我们的身高，揭示正确身高，采集信息后组织学生进行一系列的问题解决（吴老师身高170厘米，同学身高150厘米）。同学的身高是老师的百分之几？老师的身高是同学的百分之几？同学的身高比老师矮百分之几？老师的身高比同学高百分之几？学生在活跃的，直观的比较中练习，正确解决了问题。

练习进程一般来说，在练习初期要放慢速度，以保证练习活动的准确性，同时可以及时矫正错误，克服困难。这样在初期练好基本功之后才能有助于克服在中期因练习方式方法未及时改进而导致的成绩起伏的现象。中后期练习速度可以稍快些，因为在初期已打好预防和避免错误的基础，中后期担心的不是纠正错误，而是学生因疲劳而失掉兴趣，所以应适当加快速度。

任何技能的形成都需要一定的过程，必须有足够的练习时间 （或练习次数），但是在练习过程的各阶段时间分配要合理。在一段时间内若练习时间太长或次数太多，不但费时、费力，而且会因疲劳而消极怠工，事倍而功半。

练习不仅关注正确率，还要关注书写。因为，规范书写是培养学生良好作业习惯的前提，没有高质量的书写，就高质量的正确率。另外，练习质量是建筑在科学的练习数量，及学生完成练习所用的时间基础上的。“题海战”战术不是高质量的标志，相反是影响学生练习质量的重要因素。因此，在每次练习之前就必须建立严格的质量意识，精心选择、设计练习内容、方式和方法。

四、设计和布置作业要关注学生的课外。

课外作业是供学生在课外完成的练习，它有别于课堂作业。课外作业布置得好，学生乐于完成，与课堂作业相辅相成，能达到巩固提高学习效果的目的。反之，不仅会增加学生负担，还会压抑学生学习的积极性。

课外作业有比无好，这是不争的事实，关键是对作业的内容质与量的把握，对作业时间和完成方式的控制，对作业批改和评价的掌控。课外作业是学生课堂学习活动的提前与延伸，是进一步巩固学生对知识的掌握，对思维的发展，对能力的培养，但不是课堂教学活动的简单重复，也不是学生学习的补救，必须精心设计，科学践行。

课外作业的布置，有新课前的预习，有新课后的复习，有巩固性的独立练习，有合作性的共同作业。要书面作业与口头作业相结合，调查研究与动手操作相结合，共同要求和分层要求相结合，静态活动和动态实践活动。

学生课外作业练习的时间不宜太长，难度不宜太大。作业设计时应考虑课外作业的功能，设计时要关注以下几个方面。

课外作业在引入新课和复习旧课中起着一种连接作用，教师对作业内容、目的要求的选择和说明，直接关系到学生的前期成果巩固和后继学习的进展。除了设计布置与课堂教学内容同步的书面作业练习外，要立足大课堂、大教学，在新可教学前，组织学生进行有关调查，采集有关学习信息，为课堂新知学习活动做好准备。在课后可以布置学生实践操作，进行有关制作、测量和计算。

如：教学形体知识时，可以布置学生收集、观察家里、生活中的有关器具，物品，进行初步的自主学习研究，为课堂教学活动作好铺垫。课后布置学生制作形体，测量、计算家里有关形体大小等。教学“升和毫升”时，组织学生收集家里装水、油等液体的瓶、杯、袋等，进行观察，了解所装液体的多少，并带进课堂进行学习交流，探索发现活动。课后组织学生估计、测量家里器具的容积等。教学“小数的认识”、“百分数的认识”等知识时，布置学生课外收集相关信息资料，提供课堂学习研讨活动。课后组织学生进一步观察，进行有关问题解决，开展有关实践活动等。

课外作业应富有艺术，必须精心设计，使其拥有趣味性、思考性、综合性、伸缩性。

趣味性就是要使课外作业练习的内容，完成的方式，及任务完成的成功度富有情景，生动、有趣、活泼，能激发学生的学习动机，使学生乐于花时间去完成，怀着愉快的心情去做每一道题。     

思考性就是设计的课外作业要有一定的难度，有思考价值，使学生用心动脑，从中得到进步。

综合性就是指在设计课外作业的时候，要考虑到所设计的题目，学生须运用原有的和新学的知识去完成。这样，既复习了旧知，又巩固了新知，还能培养学生灵活运用知识的能力。

伸缩性就是“量体裁衣”、“因人而异”、“分层教学”。同一个班级学生的水平有高有低，其差异这是客观存在的。设计课外作作业的时候，要考虑到这一差异。这就要求，除了一些基本题之外，有必要安排适量的带有弹性的题目。对于水平高、能力强的学生，可以布置一些较难的补充题，对于程度较差的学生要给予较多的帮助。为适应学生的个别差异，教师可以指定一些题作为最低限度应完成的作业。而另外再布置一些习题，让学生自行选择，这样可以避免直接对不同学生布置不同作业，以致伤害差生的自尊心。使学生自主地量力而行，能者多“劳”，因材施教，使不同的学生得到不同的数学发展。

 课外作业的份量要适量，难易要适度，完成作业所需的时间要适当。凡是能在课内完成的作业，不要布置学生在课外完成，注意减轻学生的负担。一般地说，作业的难度，以全班大多数学生克服一定困难能独立完成为宜。

学生课外作业是课堂教学的延续，但它是以学生独立活动的形式完成特定的教学任务的。这是因为学生的作业活动，仍然是根据教学大纲的要求而进行的，它同样是师生双边活动，尽管学生完成作业活动的场所不在课堂，但学生完成作业任务的内容、要求，都是按照教师的布置进行的。完成作业后，又要有教师的批改和指导，只是学生完成作业的活动不是在教师直接观察和监督下进行的。

学生课外作业的设计，应有别与课堂作业练习，更应考虑学生的作业时间是否合理，独立完成的可能性有多大，对学生的思维发展有何价值，学生是否富有自主完成的兴趣及激情等。

教学的一个根本目的，是要求学生学会独立思考，独立自学，最终成为一个能独立工作的合格人才。课内的教学活动，课堂师生共同活动的时间比较多，学生遇到练习作业困难时，有教师与同学的参与来解决问题。而课外作业，是以学生个体完成作业的独立活动为基本形式，学生在完成各种作业的过程中，需要独立思考，独立钻研，有时要独立动手操作或手脑并用，这对学生有充分的实际锻炼的机会。

学生的课外作业，有助于学生发展智能和创造性的才能，有助于培养学生灵活地运用知识解决问题，有助于培养学生的自学能力，并能养成学生按时完成任务的习惯和责任心，以及克服困难的精神。