钉子板上多边形的面积

武进区宋剑湖小学  杨霞

教学内容：义务教育教科书数学五年级上册第108-109页。

教学目标：

1．探索并初步发现钉子板上多边形内有1、2、3枚以以上钉子的多边形的面积与多边形边上的钉子数之间的关系，激发进一步探索钉子板上的多边形面积与钉子数关系的兴趣。

2．经历探索过程，积累探索经验，体验成功乐趣。

3．通过小组合作，类比迁移探索问题的方法，尝试探索研究同类问题。

教学重点：

探索钉子板上的多边形面积与边上钉子数和中间钉子数之间的规律。

教学难点：在有限的课堂时间内进行类比推导，得出一般规律。

教具准备：多媒体课件。

学具准备：作业纸

教学过程：

一、激趣生疑，直观感知（预设：3分钟）

1、投影出示一个钉子板实物，并用橡皮筋围了几个多边形。

今天老师带来一个老朋友，认识他吗？

在钉子板上围出各种图形，请看这是一个？

为了便于研究，我们把这些图形画下来。仔细观察和平时见到的三角形相比这个三角形多了什么？

其实这里的点还有区别呢！

（介绍边点和内点）

你能数一数边点数和内点数吗？

今天这节课我们要一起研究钉子板上多边形的面积（板书）。

看，老师画了两个图形，你能数一数它们的边点数和内点数吗？哪个图形的面积大一些？

你觉得钉子板上多边形的面积的大小可能和什么有关？（边点数、内点数·····）（在表述的同时进行板贴：“内点数”“多边形的面积”“边点数”）

介绍：为了便于研究，我们通常用这样的点阵图代替钉子板。每相邻两个点之间的距离都是1厘米。像这样复杂图形的面积到底该如何求解呢？

二、学习新课，建构知识（预设33分钟）

过渡：我看到一些同学已经在割补了，很会想办法！来自江苏常州的数学家华罗庚爷爷有想法和我们交流。

我们从最简单的一组图形开始研究。

（一）.探究多边形内有1枚钉子的规律。（10分钟）

（出示例题四个多边形）

1.数数算算，完成表格

请大家观察这几个多边形，它们的面积分别是多少？（指导算法）边点数和内点数呢？

学生汇报，教师同时将表格补充完整。

2.观察表格，引导发现

引导：仔细观察表格，你有什么发现？

（当内点数是1时   多边形的面积＝边点数÷2      多边形的面积是边点数的一半）

说明：这样说起来比较麻烦，数学追求简洁美，通常我们用S表示面积，n表示边点数 ，a表示内点数，你能用一个式子表示上面得到的关系吗？  当a=1时   S=n÷2。

评价：同学们，你们太了不起了，异中求同，找到了规律！（板贴：异中求同）

3. 观察比较，反思质疑

（1）引导：不过这个规律只是由这几幅图中得到的，到目前为止只能算是一个“猜测”，只有经得住“验证”（板贴勤于验证），才能称作规律。下面我们每人找个内点数是1的多边形验证一下，

（2）请同学们拿出作业单，在我验证上画一个内点数是1的多边形，并数出它的面积，边点数和内点数。看看是否符合我们的发现。

（3）全班汇报，黑板小结，验证规律。

（3）通过验证我们发现上面的规律可以归纳为： 当a=1时，S=n÷2

小结回顾：回顾刚才我们在探索规律的过程，我们先是仔细观察，提出猜想，最后通过验证，终于找到了这样的一条规律：（指着板书）当多边形内点数是1时，学生齐读“多边形的面积=边点数÷2”，也就是s=n÷2。

（二）.探究多边形内点数是2的情况。（预设10分钟）

1．提出问题，明确方法

引导：同学们，刚才我们发现了内点数是1的规律。那接下来我们该研究……（内点数是2的规律）（板a＝2）

你准备怎么研究这个问题？

引导学生明确研究方法：先画几个内点数是2的多边形，数数它们的面积和边上的钉子数，再看看面积和边上的钉子数有什么关系。

2.各自画图，探究规律

（1）学生独立画图，探究规律。

（2）组内分享数据，看看有什么发型。

     分小组展示所画图形，并将数据汇总到表格。（小黑板）

引导：我们来看一看表格中的数据，你们发现面积和边点数有什么关系？

     边汇报边板书：a＝2时，S ＝n÷2＋1

教师相机板书： 当内部钉子数2枚  s=n÷2+1。（如果出现s=（n+2）÷2这种情况，可以把÷2转化为×0.5，用乘法分配率处理。）

（三）.探究多边形内有3枚以及更多钉子的情况。（预设10分钟）

1.推想多边形内点数是3以及3以上的规律。

过渡：（对着板书）你们太了不起了，如此迅速的从不同的多边形中找到了两条规律。如果多边形内部有3枚钉子，你猜猜会有怎样的变化？（学生表述后，教师板书“3”、“s=n÷2+2”）

4枚呢？（教师板书“4”、“s=n÷2+3”）

5枚呢？（教师板书“5”、“s=n÷2+4”）

如果a＝0呢？（教师板书“0”、“s=n÷2-1”）

2.出示验证要求，完成探究活动

过渡：你们真的特别善于观察，敢于猜测！但这些只是根据已经发现的规律进行的推理，对不对呢？我们还要进一步验证。

时间关系，我们分组行动吧！请你们小组合作，从中选择一条加以验证。

活动前稍加指导：（出示课件）如果你们小组想验证“内点数是3”，这儿就填上3，如果你们小组想验证“内点数是4”，这儿就填上4，这儿要填写刚才相应的推测！明白了吗？活动开始吧！

3.学生活动，教师巡视。

4.集体交流。现在我们来汇报一下你们的验证结果！哪组先说？请你们组的一位同学把你们围成的图形举起来，给大家看一下，哪位代表发言？还有哪个组和他们组一样，也是验证这种类型的？你们和他们的结论一致吗？

你们组是验证那一条？能说说吗？

5.得出结论：

师：经过大家的努力，我们现在可以确定这些猜想都是成立的。

（四）拓展延伸，揭示规律。

引导学生观察关系式：

 a＝0  S ＝n÷2－1

a＝1  S ＝n÷2

a＝2  S ＝n÷2＋1

a＝3  S ＝n÷2＋2

……

提问：这么多规律，能不能用一个规律来表示呢？

引导学生归纳，得出规律：S ＝n÷2＋（a-1）。

三、课堂总结（预设3分钟）

1.简介皮克定理

师：同学们，今天我们一起探索发现了---多边形的面积等于边上钉子数除以2，加上内部钉子数减一这个规律。实际上这和伟大的科学家皮克发现的“皮克定理”是一致的：（课件展示）皮克在1899年发现：给定顶点坐标均是整点（或正方形格点）的简单多边形，其面积S与内部格点数a、边上格点数n的关系：S=n÷2 + a -1。

2.照应课前的问题。课件出示课前谈话中的难题，并告诉学生边上钉子数与内部钉子数，让学生快速计算。

3.回顾反思：

提问：回顾刚才探索和发现规律的过程，你有什么体会和收获？

四、课外拓展：推荐一本书《格点与面积》

今天我们学习的这个只是到初中大家还要深入学习，有兴趣的同学可以阅读这本书《格点与面积》。在这本书中提及了这种横竖不相等的格点，有兴趣的同学自己探究一下。

我会数

我验证

画一个内点数是1的多边形并完成填空： 

我尝试

画一个内点数是2的多边形并完成填空：

结论：通过验证，当内点是2时，多边形的面积S=             

验证单

我们组验证的是内点数是（      ）

我们的猜想是                                         

结论：通过验证，当内点是（    ）时，多边形的面积S=