规律的探索与思考

吴小玲

一、源起

数学是研究模式和规律的科学，“数与代数”中有大量的规律、公式和算法，有助于学生逐步养成从数学的角度探索身边的事物之间的关系及变化规律，并用适当的数量关系式表达出来的素养。这是学生数学思考的重要表现，也是“数与代数”教学的重要方面。小学数学的教学内容里设计了“探索规律”的内容，加强探索规律的教学，充分体现了学生探索规律的地位和意义。

二、探索规律的重要性

其重要性表现在以下几个方面。

（一）有利于从小培养学生探索规律的兴趣和能力。

我们知道，客观世界的事物之间、现象之间都按某些规律存在和相互影响着。人们的生活、劳动、科学研究中还有大量现象有待了解和研究，还有许多新的规律需要探索和发现。未来社会要求每一个人都应该具有探索规律的意识和能力，能在自己的学习和工作中探索规律、运用规律，这就需要从小开始培养。这是数学教学安排学生探索规律的根本原因。

（二）探索规律有利于促进学生学习方式包括数学学习方式的改善。

探索规律的学习内容是学生身边有趣的、与数学有关的规律。学生探索规律的学习活动，重在探究的过程，其探索活动经常是在观察、操作、画图、实验、猜测、验证、归纳中进行，这些探索性的研究活动，以探究学习、发现学习为主要学习方式，自主学习的空间较大。学生积扱参与探索规律，有益于学习方式的改善。如果学生具有探索规律的能力，能够以探索规律的方式学习许多其他知识，数学学习的效果会更好。这是数学教学编排探索规律的又一个重要原因。

（三）探索规律的过程能够发展学生的数学思维，特别是有利于改变“重演绎、轻归纳”的思维习惯。

数学教育的根本目的是培养人，促进学生全面、持续、和谐发展，包括知识与能力的发展、生理与心理的发展、情感与态度的发展，其中十分重要的是思维能力的发展。探索规律的学习活动，既开展合情推理，也进行演绎推理，是培养学生合情推理能力的极好机会，也是改变数学教学重演绎、轻归纳的重要渠道。这也是数学教学安排探索规律教学内容的原因。

三、教材内容编排

教材把探索规律安排在“数与代数”部分，一方面是因为“数与代数”内容中有大量的规律可以供学生探索，可以让学生发现。

另一方面，客观世界事物和现象的规律，经常用数或式来表示，数、式、方程都可以是呈现规律的数学模型。当然除了数与式，图形和其他形式也可以描述规律，数和式描述规律更为方便，数学化程度更高，应用更多。在教学数、式和运算的时候，除了它们的基础知识之外，适时安排一些探索规律的内容，能够进一步充实学生的数学学习活动，让学生感受“数与代数”里存在的许多规律。

探索应用数与代数的知识表示规律的本质属性，有益于激发学习热情，活跃数学思维，渗透初步的数学模型思想。

四、《标准(2011年版)》的内容要求

“探索规律”并非全新的教学内容，学生在探索加法运算律、乘法运算律、积的变化规律、三角形的内角和等知识时都在探索规律。教材的练习题、思考题中也有一些探索规律的习题，只是没有得到持续关注，编排较为随机。教材在中、高年级相对独立地编排探索规律的专题活动，使其重要性凸显出来，教学时应该引起高度重视。有关“探索规律”的内容的具体要求，《标准(2011年版)》表述如下。

“探索规律”的内容要求

可以看出，针对低年级学生的学习经验和探究水平，《标准(2011年版)》将《标准(实验稿)》第一学段中“发现给定的事物中隐含的简单规律”的要求修改为“探索简单情境下的变化规律”，这就适当降低了第一学段探索规律的要求。

五、教材内容结构

探索规律的内容，贯穿在第一学段和第二学段的教学内容中。修订后的教材仍然采用分散安排和独立编排的方式进行编写。

（一）根据内容独立编排“探索规律”的专题活动。

教材“探索规律”的专题活动

从三年级上册开始，教材有计划地在每册各编排一个“探索规律”的专题活动，每个单元着重探索一类典型现象的规律，所呈现的探索规律内容比较丰富。其中一一间隔排列和周期排列，研究常见现象里的规律；两位数乘法、和与积的奇偶性，研究计算里的规律；多边形内角和、表面涂色的正方体以及面积的变化，研究几何图形里的规律。学生对体现这些规律的内容载体都比较熟悉，比较适合他们进行探索研究。这些规律的教学大致各用1课时，重在让学生展开规律的“探索”过程，严格控制应用规律解决问题的要求。注重探索规律的经验积累和数学思想方法的感悟，凸显了探索规律的教学价值，较好地达成了“探索给定情境中隐含的规律或变化趋势”的内容目标。

（二）结合教学内容分散安排探索规律。

教材从一年级上册开始，就注意联系已经学习的数、式、运算以及直观认识的图形，安排探索规律的习题，让学生在练习中体会数、式、运算或图形排列的规律。考虑到低年级学生的知识、智力和能力的实际情况，教材编排的探索规律简单而有趣，像一粒粒珍珠镶嵌在练习题和思考题中间，其规律不难发现且容易表达，让学生能够看出规律，感受规律的存在，对规律产生兴趣，并且利用学习的数、形、式表示简单的规律。同时，初步培养探索规律的情感态度以及自信。

1、结合认数找规律。（如图1-8-1）

发现数列里的规律，要联系数和计数法的知识。有时进行十个十个、五个五个、一个一个地数数活动，有时需要运用三位数、四位数、小数等基础知识进行思考，有时需要从数的组成角度进行分析、比较活动，这些活动都有利于增加学生对数学知识的体验。

2、结合计算找规律。（如图1-8-2）

学生可以从不同角度分析相邻算式的关系，或是从一个乘数的变化理解积的变化，或是从积的变化感受另一个乘数的变化。

3、结合图形找图形排列的规律。(如图1-8-3)

这些习题以巳经直观认识的图形为载体，在图形排列中蕴含规律。学生通过观察、比较，发现图形的排列规律，用画图形或说图形的方式表达规律，符合低年级学生的年龄特征和认知水平。

4、加、减法、乘法口诀中的找规律。

其实，结合数和运算的基础知识的教学，教材中还有许多蕴含规律的数学内容。二年级整理加法表、减法表、乘法口诀表，要求学生看出表格里算式的排列规律，参与整理表格的活动，体会相邻算式之间的关系，利用这种关系记忆口诀使计算正确、迅速。(如图1-8-4)

5、练习中的找规律。

图1-8-5中的习题要求学生体会每匾蚕茧的个数不变，匾的个数越多，蚕茧的个数越多。在发现规律的同时，受到函数思想的熏陶。图1-8-6让学有余力的学生感受上下两个算式的关系，体会两个相同数相乘的积比与它相邻两个数的乘积多1。

教学这些镶嵌在习题中的找规律，不能仅仅关注其中的基础知识、基本技能，还应该重视其中探索规律的因素，并在教学中展开探索规律的过程。通过找规律，让不同的学生在练习过程中能够获得不同层次的收获。

在此基础上，教材继续联系教学内容适当分散安排探索规律的习题，让学生在练习中体会较大的数、较复杂的式、运算或图形排列的规律。同时，通过形式上的创新编排，充实了探索规律的内容和活动。一是结合基础知识的形成过程，引导探索数学概念、法则、性质、公式等，如探索商不变的规律（如图1-8-7），探索积的变化规律（如图1-8-8）；二是结合计算器的使用，引导探索大数目计算过程中的规律，如用计算器探索算式及其得数的变化规律的习题（如图1-8-9)。

今天主要研究两节探索规律的专题课。

六、探索规律《间隔排列》

三年级上册研究两种物体“一一间隔排列”的现象。朱老师按照探索规律的内容分成几块来编排教学内容。首先，呈现一种现象，引起学生注意，激发探索规律的兴趣；接着，安排观察、操作、实验等各种教学活动，帮助学生探索并找到规律；然后，采用适当的方式表达、交流发现的规律，提升数学思考的水平；最后，回顾探索规律的过程和进行的活动，反思收获、积累经验，享受成功的喜悦。

（一）观察有趣的现象，由表及里逐步体验规律。

1、观察现象，了解其中的物体是怎样排列的

朱老师由带给兔子庄园的礼物导入，呈现出一串红花、黄花一一间隔排列的花朵串，吸引学生一起走进兔子庄园。然后呈现出兔子庄园生动的画面：许多小兔排成一行跳舞，每两只小兔之间有一个蘑菇；一根绳子上，每两个夹子之间晾一块手帕；场地前面，每两根木桩之间有一块篱笆。面对具体的情境，怎样观察，观察什么是很重要的。朱老师问学生：图中的兔子与蘑菇的排列有什么特点？木桩与篱笆、夹子与手帕呢？这些问题引领学生把画面里的物体分成三组，分别观察各组的两种物体是怎样排列的。看出兔子与蘑菇一个隔一个排成一行，夹子与手帕一个隔一个排成一行，木桩与篱笆一个隔一个排成一行。发现每组的两种物体都是一个隔一个地排成一行，从而初步了解课题“间隔排列”的意思。

2、数出各种物体的个数，比较每组两种物体的个数，初步发现它们的共同点。

从数学角度观察现象，要关注现象里的数学内容。“数”能得出物体的数量，“比”能找到相同与不同。朱老师出示了学习单，让学生在表格里填写各种物体的个数，这是从现象中收集数学信息。之后，比较每排两种物体的数量，得出小兔比蘑菇多1个，夹子比手帕多1个，木桩比篱笆多1个，发现同组的两种物体的个数都相差1。

3、把同组的两种物体“一对一”地圈出来，体验“相差1个”是合理的。

同组的两种物体为什么都相差1个？相差1个是不是规律？需要进一步研究，这些思考使学生进入探案规律的状态。朱老师提示学生：把1只小兔和1个蘑菇看成一组，圈在一个圈里，结果多余1只小兔，这表明小兔与蘑菇像图画里那样排到，小兔应该比蘑菇多1个。学生按照圈小兔与蘑菇那样，把1个夹子和1块手帕看成一组，圈成一圈；把1根木桩和1块篱笆看成一组，圈成一圈，能够发现多余1个夹子或1根木桩，并且体会同组两种物体个数相差1的必然性与合理性。根据“同组两种物体个数相差1”，朱老师让学生用数量关系表达出来，初步构建了表达规律的数学模型。

4、放大情境，增加物体数量，体会“相差1个”是稳定的。

如果更多的小兔和蘑菇像这样排列，还会相差1个吗？如果更多的夹子和手帕像这样排列，还会相差1个吗？朱老师继续提出问题“20只小兔站成一行，每两只小兔中间有一个蘑菇，一共有多少个蘑菇？”由于兔子和蘑菇仍然是一一间隔排列，回答这个问题，当然可以想“小兔比蘑菇多1个”，通过20-1=19，算出蘑菇的个数。还可以想“没有蘑菇和它对应。前面的19只小兔应该有19个蘑菇来一一对应，最后多余1只小兔”。朱老师还问“把20块手帕像上面那样夹在绳上，一共需要多少个夹子？”学生回答这个问题也可以一边算“20+1=21”，一边想“1个夹子和1块手帕看成一组，20个夹子和20块手帕组成20组，最后还应该多余1个夹子”。情境里的物体增加了，排列规律没有改变，学生对两种物体相差1个的规律有了更丰富的体会。

（二）继续探索并表述间隔排列的规律

1、创造性地摆图片，丰富对一一间隔排列规律的认识

两种物体一一间隔排列的变化主要表现在：一行物体的两端，是同一种物体，还是两种不同的物体。前面的兔子与蘑菇排成一行，两端都是兔子；夹子和手帕排成一行，两端都是夹子；木桩与篱笆的排列，两端都是木桩。学生已经探索并理解了两端是同一种物体的间隔排列规律，接着还要他们探索两端是不同物体的间隔排列规律。

朱老师又安排了第二个体验活动，要求学生画一画：如果把■与●一个隔一个地排成一行，■有5个，●最少有几个？最多有几个？这是一个开放的操作情境，其中■的个数是规定的，●的个数是不确定的。

学生一般会先把5个■摆成一行，再把●插进去。由于问题具有挑战性，他们会思考“●怎样摆，个数最少？”“怎样摆，个数最多？”于是摆出这样四种情况：

■●■●■●■●■

■●■●■●■●■●

●■●■●■●■●■

●■●■●■●■●■●

●的个数分别是4个、5个、6个。显然●最少有4个，最多有6个。

如果深入研究为什么●的个数会不同，就能发现这两种图形一一间隔排列有三种情况：一种是整排图形的两端都是■、●的个数最少；一种是整排图形的两端都是●，●的个数最多；一种是整排图形的一端是■，另一端是●，●的个数不是最少，也不是最多。分别比较这三种情况■的个数与●的个数，一种是■比●多1个，一种是■和●的个数相同，一种是■比●少1个。因此，三种情况又可以分成两类：一类是两种图形相差1个，一类是两种图形个数相等。前一类整排图形的两端是同一种图形，后一类整排图形的两端是不同的图形。

通过上述画一画、找规律、想原因，比较全面地探索了两种物体一一间隔排列的规律。这些规律以形象思维的方式保存在学生的经验里，既有比较充分的体验，又不需要刻意去记忆。

2、鼓励学生想办法表示规律、交流规律

表示规律是数学化程度相当高的思维活动。如果说，探索规律的教学重点在于学生充分开展探索活动，那么采用适当的方式表示发现的规律，也不能忽视。探索规律的全过程包括对规律的表达与交流。

表示规律的最好形式是数学模型，模型能够最本质、最简明、最数学化地表现规律的数学内容。然而，小学生还不具备利用数学模型的能力，可以鼓励他们尝试着使用模型，但不要勉强使用。所以让学生表示间隔排列的规律，可以鼓励学生采用语言描述、画图、写式子等多种形式。只要经历描述规律的过程，有自己表示规律的办法，就应该得到赞赏。

（三）回顾探索规律的活动过程，积累经验

回顾探索规律的过程，朱老师组织学生想想研究了什么现象，这种现象有什么特点？开展了哪些活动，采用了哪些方法，经历了哪些步骤，发现了什么规律，怎样表示这个规律……让学生体会自己是成功者，因为间隔排列的规律是自己发现的；体会探索规律是数学活动的过程，平时经常使用的数一数、比一比、画一画等方法，都可以应用于探索规律，使探索规律促进数学学习方式的改善；体会探索规律需要科学的态度，既要大胆猜想，又要及时验证；体会探索规律、发现规律的乐趣，虽然过程有些艰苦……

七、探索规律《简单的周期》

本次探索规律，把贴近学生的生活和认知水平的简单周期现象作为研究对象，着重观察若千个物体有规律的排列，发现并描述排列规律，还要根据周期规律对后续排列作出判断。这些内容与任务，能激发探索规律的热情，提高发现规律的能力，培养遵循和利用规律的态度。杨老师按“初步观察周期排列现象——深入研究周期规律——根据周期规律作出简单判断——回顾探索规律过程”的线索来教学。

（一）初步观察周期排列现象

杨老师呈现一幅情境图，由近到远依次是盆花、彩灯和彩旗，它们都有规律地摆放着。摆放的顺序(即周期规律)都表现在颜色上，比较醒目，容易看出来。杨老师问学生“盆花、彩灯、彩旗的排列有什么共同特点吗?”引导学生关注这些物体的“排列”，寻找它们排列的共同点。通过仔细观察与比较，体会“盆花、彩灯、彩旗的排列都是有规律的”，“每种物体都是几个一组地排列的”。学生获得的这些体会，就是对简单周期现象的初步感受，表明他们已经进入研究周期规律的学习状态。

(二)深入研究周期规律

这是探索活动的重点所在。先研究盆花的排列规律，再研究彩灯、彩旗的排列规律。盆花的排列规律是重中之重，对它的研究会影响对彩灯、彩旗的研究。

盆花的摆放顺序是蓝花、黄花、红花，蓝花、黄花、红花，蓝花、黄花、红花。学生能很清楚地看到盆花的摆放是“3盆为一组”，每组都“按蓝花、黄花、红花的顺序依次重复排列”。这里杨老师就根据学生的表述，揭示了周期现象的定义。

彩灯的排列规律、彩旗的排列规律，虽然比盆花稍复杂一点，但有探索盆花排列规律的经验为基础，困难不会很大。杨老师通过提出问题：“彩灯是按什么规律排列的？”“彩旗是按什么规律排列的？”放手让学生独立探索、自主交流。关于彩灯的排列规律，应该找到“4盏为一组”“每组都是红灯、紫灯、绿灯、紫灯的顺序。”至于彩旗的排列规律，应该找到“4面旗为一组”“每组都是先两面红旗、再两面黄旗”。

(三)根据周期规律作出简单判断

目标要求学生能体会情境图里的三种物体都可以“照样子”继续摆下去，即周期现象是“周而复始”“无限循环重复”的。学生能根据发现的周期规律，对接着的排列作出判断。杨老师提出问题：“按盆花的排列规律，第19盆花是什么颜色的？”情境图里只画出9盆花，第19盆花没有画出来，利用盆花的周期规律，学生能够得出第19盆花的颜色，而且方法多样。“画一画”“算一算”“想一想”等都是解决问题的办法。按盆花的排列规律“蓝花、黄花、红花3盆一组”，依次画出第1盆花到第19盆花，能够得到第19盆花的颜色。按“3盆一组”计算除法19÷3=6(组)……1(盆)，根据余数“1”可以判断第19盆是蓝花。还可以想18盆花是6组，第19盆花是第7组的第1盆，由于各组的第1盆都是蓝花，所以第19盆应该是蓝花。这些方法虽然不尽相同，但“3盆为一组”“各组花的颜色顺序相同”是每一种办法的出发点。上述的后两种方法是一致的，都是思考第19盆花在第几组、第几盆，根据“每组第1盆是蓝花、第2盆是黄花、第3盆是红花”，得到问题的结论。杨老师一方面肯定学生的每一种方法，另一方面引导学生关注后面两种方法。理解除法算式的具体含义，体验“余数”是解决问题的关键，学会从余数出发进行判断和推理。

20盏彩灯刚好5组，第20盏彩灯是第5组的第4盏（20 ÷4=5），根据“红，紫、绿、紫”这种排列规律，可以确定第20盏是紫灯。第23盛是第6组的第3盏（23÷4=5……3），应该是绿灯。教材选择第20盏与第23盛是有意图的，第20盏在一个周期的结束位置上，第23盏在一个周期的中间，学会判断一个周期的第一盏、最后一盏、中间某一样的颜色，相关问题就都能解决了。

第26面彩旗、第28面彩旗的颜色不难判断，思考方法与前面判断盆花的颜色、彩灯的颜色相同。通过这两面彩旗颜色的判断，能进一步体验周期规律，牢固把握周期规律的两个基本要点：几个为一组，一组内部的排列顺序怎祥。

在学生充分感受盆花、彩灯、彩旗等周期排列的基础上，杨老师安排了一个开放的操作活动，用△、□、○这三种图形设计一个按周期规律排列的图形序列。学生在摆图形的过程中，能够深入体会周期现象的“依次重复出现”的本质特征；能够发挥想象，摆出不同的有周期规律的图形序列，可以是较简单的周期排列序列，也可以是稍复杂的周期排列序列。杨老师让学生独立设计，并说清楚其中的周期情况，正确表达周期规律。

（四）回顾探索周期规律过程

在教学的最后，杨老师组织学生说说对周期现象的认识，体会发现周期规律至少要观察两组物体的排列，如果在更多组物体中寻找排列规律就更好了；说说表达周期规律可以采用的方法，体会用符号画一画既清楚又方便，增强符号意识；说说解决周期现象中的问题的方法和要领，把周期现象中的数学内容转化成除法，体会数学的抽象性和严密性。并且列举生活中的周期现象，使学生获得关于周期现象的更多体验。

八、探索规律的核心和着眼点

对于像探索规律这两堂专题课，我们的核心和着眼点：

（一）重点展开探索规律的过程，合理地降低应用规律解决问题的要求。

可以说，探索规律的教学过程比结果更重要。两位老师将教学的着眼点引向启发学生参与探索规律的过程，体验和掌握探索规律的方法，感悟数学思想，积累数学活动经验。合理地降低应用规律解决问题的要求，既能使学生在应用规律解决简单问题的过程中体会规律的普遍意义和应用价值，又不把学生能否掌握规律、应用规律作为评价教学的主要标准。

（二）引导学生经历由具体到抽象、由特殊到一般的归纳过程。

间隔排列和简单的周期这两节专题课都是引导学生观察一些典型的生活现象，分析其中的排列规律或数量之同的内在联系。由现象出发逐步揭示本质。

概括规律并选择适当的形式表示出来，是探索规律的点睛部分。两位老师都重视学生对规律的抽象表达，也尊重学生的实际水平，允许表达方式的个性化。

（三）着重培养学生数学思维能力，体会和运用数学思想与方法。

在探索规律专题活动中，老师注意通过富有启发性的问题，引导学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等数学活动，培养比较与分类、分析与综合、抽象与概括等数学思维能力，让学生体会和运用数学思想与方法。

对于数学教学的探索，我们一直在路上。今天初步尝试了对探索规律专题课的研究和思考，笼统来讲也算是“同课异构”吧。有不到之处，请大家批评指正。