从“百分数”到“概念教学”的点滴思考

武进区宋剑湖小学  姚春霞

今天上的《百分数的意义》从教材上来看，分四个层次：一是依托生活情境呈现百分数，旨在突出百分数在生活中的广泛运用；二是给出百分数的意义，并让学生据此意义描述实例中百分数的含义，引导学生找出相比的是哪两个量，这两个量之间有什么样的关系；三是让学生说一说还在什么地方见过这样的数，激活生活经验，引导学生建立新知与生活的联系；最后，教材通过实例介绍了百分数的读法和写法。

《数学课程标准（2011年版）》提出：“体验从具体情境中抽象出数的过程”“结合具体情境理解百分数的意义”。因此，“创设情境”从学生生活经验出发是教学实施的手段，“沟通联系”充分发挥学生已有分数和比的知识是学习新知的桥梁，“理解意义”培养抽象概括能力是教学的重要目标。

 在筹备《百分数的意义》一课的教学时，马主任给我们这次同课异构提出了建议，希望我们用两种典型的思路：演绎思路推进与归纳思路推进来研究本课，我们也努力的尝试。首先演绎思路：即依据教材，借助三场不同场次统计的投篮次数与命中次数，以开放性问题“可以怎样比较这三场比赛的投篮情况？”引发学生发散性思考，最后聚焦于可以比较“每一场比赛投中次数占投篮次数的几分之几”即命中率，让学生经历“创造”百分数的过程，以此为生长点，建构百分数的意义。归纳思路，则是从身边熟悉的含有百分数的生活素材出发，让学生尝试自主分析、解读不同情境中每个百分数所表示的具体含义，寻找不同百分数表示含义的共同点，由此尝试归纳建构百分数的意义。

  一、首先是汤老师的《百分数的意义》这节课很好的诠释了演绎思路推进法，在围绕“结合具体情境理解百分数的意义”这个教学目标上，我们依托教材进行了朴实无华的本色设计。教学中注重结合生活情境引入、注重学生的自主学习，着力培养学生的抽象概括能力，基本达到预期的教学目标。

二、周老师的《百分数的意义》这节课我们努力在尝试用归纳思路推进法来呈现，但确实有很大的难度，有不到之处还请多多理解。周老师百分数的素材从学生自身的生活中选取，教师适时的补充，给学生一种完整的认知结构，百分数的认识轻读重写，简约有效，针对性强，百分数的意义的感知从学生自己阅读教材开始，重视学法。这样的学习和研究，不仅尊重了学生的学习起点，充分发挥了学生学习的主体作用，而且培养了学生自主学习的能力，向学生渗透了数学源于生活，服务于生产实践的理性精神。

但在我们试上后访谈中我们发现，百分数更多的在学生头脑中还只是一个“数”的印象，对于它表示“比”的关系还比较模糊，于是我们陷入了深深的思考。

1、关于教学内容的思考。

在首次试教后，我们的头脑中一直思考“百分数究竟是什么”、“学习百分数的意义和价值在于什么”两个主要问题。

（1）百分数是什么？如何引入？

“百分数”为什么在学生头脑中是一个数?如何帮助学生理解百分数表示两个量相比的关系，在查阅了大量资料后，我们得到了一点启发。从教学内容看，百分数表示的是两个数相比的一种关系。而其意义的理解又建立在分数的意义理解之上。通常分数的定义有三种方式，即“份数”的定义、“商”的定义和“比”的定义，“百分数”的学习该如何引入呢?“份数”的定义通俗易懂，但未能体现其数学本质。“商”和“比”的定义本质相近，符合“数系”扩张的数学思想，体现了分数本质。从学情调研看，绝大多数学生对于分数的认知还是停留在部分与整体等分的角度上，还没有完全上升到两个量相比的视角上来，这对学生正确把握百分数的内涵是不利的。

由此可见，份数的定义只能作为学生学习分数的起点，不应过分强调，而百分数的学习理应从“比”的定义来认识，这更符合数学内部发展的要求，从“比”的视角帮助学生建构百分数是学生数学思维的一次跨越、一次升华，也必将对学生以后的学习大有帮助。

（2）有了分数，为什么还要学百分数?

百分数的意义与分数的意义之一“一个数是另一个数的几分之几”同属一个含义。既然同属一个含义，为什么又要单独作为一个重要内容去学习？这说明百分数必然有其特定的功能，如何让学生强烈的体会到百分数的优越性?也是我们一直思考的另一问题。

百分数的这种特定功能必然是由分数的特性引起的。从分数表示“整比例”关系的视角我们可以看出分数是一种无量纲的数。也就是说，一方面分数的大小与整体本身的大小无关；另一方面分数的大小与数量的多少也无关。正是因为如此，现实生活中一些看起来无法比较的事情用分数就可以比较了，用百分数就使得这种比较更清楚了。用分数进行比较，当数据较多时，几个分数经过通分，公分母比较大，计算和比较起来非常麻烦，而百分数是人们在生活实践和实际应用中逐渐形成和完善的一种特殊形式的数，其优点在于精确度适中，便于比较。因此，创设情境让学生在实际问题的解决中与各类形式的分率进行对比，继而体悟百分数的优越性的想法也就应运而生了。

2.关于核心素养的思考。

数学的核心素养反映了数学的基本思想和学习数学的关键能力。史宁中教授认为，数学基本思想是数学发展所依赖、所依靠的思想。数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型。数学基本思想是研究数学学科不可缺少的思想，也是学习数学、理解数学和掌握数学所应追求和达成的目标。可见，数学抽象、逻辑推理、数学建模反映的是数学基本思想，是学习数学过程中重要的思维品质。对学生学习数学而言，数学运算、几何直观、空间想象和数据分析等方面的能力是关键能力。

百分数是连接“数与代数”和“统计与概率”的一个重要载体，在对百分数的意义的理解中发展学生的“数感”和“数据分析观念”，这是培养学生学习数学的关键能力，同时培养抽象概括能力也自然成为教学的重要目标。

3.关于学习方式的思考。

事实上，在正式学习百分数之前，学生都有了一定的生活经验，在各种生活场景中认识过百分数，基本会读写百分数，给出一个百分数能用直观图表示其意义的也不在少数。课前我们通过调研，也验证了这一事实，在访谈中，学生对于百分数的读法完全正确，写法主要在其书写顺序和规范性上存在问题。另外86%的学生能画出部分是整体的百分之几，但对于意义的理解只是停留在分数“份”的层面，不能用语言进行描述和刻画其相比关系。因此教学的着力点应放在百分数的意义的理解，尤其是相比关系的教学中来。

这是我们团队对百分数的意义的理解，就着这个百分数这块砖我们也敲开了概念教学的大门，本节内容属于概念教学，在小学数学课中,根据教学内容可以划分为概念课、计算课、解决问题课与空间图形课,而几乎在每一个新知识的起始课，学生最先接触到的必然是数学概念。概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的，也是学习其他数学知识的基础，因此上好概念课对小学生的后续学习以及数学素质发展的培养都具有很重要的意义。

一、小学概念教学中普遍存在的问题 　

目前，我们老师都上过概念课。我们经常会不经意地把数学概念课上得冰冷无味、死板缺乏生机；学生没有通过对大量事物的感知、分析、理解而抽象出概念，总的来说就是忽视概念的形成过程，忽视概念间的相互联系，忽视概念的灵活应用，主要存在以下一些问题:

1、概念教学脱离现实背景。很多教师在上概念课的时候，首先就要求学生把概念强记下来，然后进行大量的强化练习来巩固概念。这种死记硬背的教学方式有着很大的消极影响，由于学生并没有理解概念的真正涵义，一旦遇到实际应用的时候就感到一片茫然。 　　

2、孤立地教学概念。很多教师在教学概念的时候往往习惯于把各个概念分开讲述，这样虽然是课时设置的需要，但是这种教学方式会使得学生掌握的各种数学概念显得零碎，缺乏一定的体系，这不仅给学生理解和应用概念设置了障碍，同时也给概念的记忆增加了难度。 　　

3、数学概念的归纳过于仓促。数学概念的形成，是一个不断建构与解构的反复过程。引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性，这是概念教学应该达到的教学目标。而部分教师课堂教学中概念的形成过于仓促，学生尚未建立初步的概念，教师即已迫不及待的进行归纳与总结。 　　

二、小学数学概念课教学的基本策略 　　

1、必须将概念置身于现实背景中去理解。 数学概念是抽象的、严谨的、系统的，而小学生的心理特点则是容易理解和接受具体的、直观的感性知识。因此，我们在教学之始应该在数学与生活之间搭建起联系的桥梁，提供丰富、典型、全面的感知材料，千方百计地充实学生的感性材料。数学概念教学时必须将概念寓于现实社会背景中，让学生通过活动亲身经历、体验数学与现实的联系，从中经历完整的学习过程，用方法组织和建立数学概念，这样建立起来的概念才具有丰富的内涵。

2、概念的建构需经多次反复。建构主义教学观认为，概念的建构需经多次反复,经历“建构—解构—重构”的过程。 　 　　

3、重视概念在生活中的应用。 概念教学一般应遵循“从生活中来——抽象成数学模型——到生活中去”这样一个过程，强调从学生已有的生活经验出发，初步学会应用数学的思维方式去观察、分析，亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，体会数学概念与自然及人类社会的密切联系，第二次与生活的联系是一种自觉与提升。 　　

 三、小学数学概念课的基本模式

 我们认为，概念课的教学应该分为这样四个环节：1、概念的引入，2、概念的形成，3、概念的巩固，3、概念系统的建构。

1、概念的引入。数学概念是抽象的、严谨的、系统的，而小学生的心理特点则是容易理解和接受具体的、直观的感性知识。因此，我们在教学之始应该在数学与生活之间搭建起联系的桥梁，提供丰富、典型、全面的感知材料，千方百计地充实学生的感性材料。概念引入的途径是多样的，可以通过直观引入、计算引入，也可以从情境设疑引入、学生的生活实际引入、知识基础引入。

2、概念的形成。小学生建立数学概念有两种基本形式：一是概念的形成，二是概念的同化。由于小学生的思维特点处于由形象思维逐步向抽象逻辑思维过渡的阶段，因此，小学生学习数学概念大多以“概念形成”的形式为主。概念的形成是一个累积、渐进的过程，是概念教学的中心环节。数学概念的形成一般要经过直观感知→建立表象→揭示本质属性三个阶段，直观感知和建立表象是建立概念的向导，概念本质属性的揭示是概念教学的关键。在教学梯形的认识中，梯形概念的形成就是经历了这样三个过程：先让学生互相介绍、欣赏自己印象中的梯形是怎样一个图形，这是一种直观感知的过程，学生通过画梯形、看梯形、说梯形，丰富了自己的感性认识，也初步建立了梯形的表象，他们认识梯形是一组对边平行的四边形；再让学生从众多图形中选出哪些不是梯形，说说为什么这几个不是梯形，学生通过观察、对比、交流，逐步建立了梯形完整的表象，也基本揭示了梯形的本质属性，他们认为梯形是只有一组对边平行的四边形，但是学生对此还不是完全掌握；然后让学生在长方形、平行四边形、三角形里各剪一刀剪出梯形来，学生通过“破坏”和“创造”使这三种图形都变成只有一组对边平行的四边形，这时梯形的本质属性完全凸现，正因为如此，所有学生都认为“只有”两个字非常重要。

3、概念的巩固。掌握概念是一个复杂的认识过程，小学生对概念的掌握往往不是一次能完成的，要由具体到抽象，再由抽象到具体多次进行往复。当学生初步建立概念后还需运用多种方法，促进概念在学生认知结构中的保持，并通过不断运用，加深对概念的理解和记忆，使新建立的概念得以巩固。为了让学生巩固所学的概念，可以举出实例进行辨析，可以自觉在解决问题时运用。在教学梯形的认识中就是这样进行巩固的：先让学生说说在我们周围哪些物体的形状是梯形，通过寻找生活原型建立起数学与生活的联系，帮助学生解决认识的具体性、形象性与数学概念的抽象性、逻辑性之间的矛盾；再让学生把梯形剪一刀剪成一个平行四边形和一个三角形，把平行四边形剪一刀剪成两个大小完全一样的梯形，通过剪使概念在运用中得到巩固，在巩固中又进一步加深对概念的理解。

4、概念系统的建立。概念总是一个一个进行教学的，因此在小学生的头脑中，概念常常是孤立的、互不联系的，教学进行到一定程度时，要引导学生把学过的概念放在一起，寻找概念之间纵向或横向的联系，组成概念系统，使教材中的数学知识转化成为学生头脑中的认识结构，也利于对知识的检索、提取和应用，促进知识的迁移，发展学生的数学能力。概念系统的建立可以按知识内在的联系，也可以用增加概念的内涵，还可以利用集合图表示。但无论运用哪种方法，都必须建立在反思、梳理的基础之上。在教学梯形的认识中梯形的建构就是通过学生的介绍并利用集合图来进行的：先让学生介绍梯形，通过介绍促使学生进行反思，这是对所学知识的初步梳理，是系统建构的基础；再让学生用图示表示梯形、等腰梯形与直角梯形之间的关系，通过画图促使学生进行意义建构，这是对本节课所学知识的系统建构，有利于学生从整体上认识梯形。

总之，小学数学概念教学是小学数学教学的重要组成部分,教师在上概念课的时候一定要根据针对学生的认知规律以及概念的具体特点，采取科学的教学策略来开展教学工作，以保证数学概念教学的质量。