把握方向 准确定位

-----对《图形与位置》教学的思考和研究

宋剑湖小学 周晶

“空间与图形”内容包括图形的认识与测量、图形与变换、图形与位置三部分。

一、图形的认识与测量，有平面图形→立体图形。无论是平面图形，还是立体图形，都可以归结为图形特征的认识，图形周长、面积、体积的测量与计算这样两个方面的内容。以及图形认识与测量的简单实际应用。

二、图形与变换，有轴对称、平移、旋转三种基本的几何变换。还有作图操作、利用比例知识计算面积等知识。

三、图形与位置，确定物体的相对位置，辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。

我们每个人都生活在空间中,为了更好地认识周围的空间,每个人都应具备与空间有关的常识,这其中最主要的便是能够确定物体的位置,具备辨别方向、读懂并描述路线图的能力,这些构成了“图形与几何”中“图形与位置”的学习内容。儿童对空间位置的表征至少有以下三种①:一是自我中心的表征,即用主体自身与目标物之间的位置关系来标明目标物的具体位置。如儿童背靠着物体,说物体在他的后面。二是自然标志的表征,即用环境中的其他物体与目标物之间的关系来标明目标物的具体位置。如茶几在沙发的前面,电视在茶几的前面。三是去自我中心的表征,利用一些抽象的形式来描述目标物的位置。如用地图来描述目标物的位置或行走的路线。小学数学“图形与位置”的教学围绕上述内容逐步展开。

学习“图形与位置”,一方面可以使学生从数学的视角更好地把握生活的空间,另一方面也可以使得学生的空间观念和推理能力得到更好的发展。

苏教版教材安排的“图形与位置”的教学内容主要包括如下六个方面：一是用“上、下、前、后、左、右”描述物体的位置关系；二是用“东、南、西、北”以及“东北、西北、东南、西南”描述物体所在的方向；三是用有序数对确定现实情境中的物体或方格图中点的位置；四是了解比例尺，初步学会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算；五是根据物体相对于观测点的方向和距离确定其位置；六是综合应用学过的描述方向和确定位置的知识描述简单的路线，或者画出简单的路线示意图。

梳理其学习目标，可以归纳为两个方面：其一，确定物体的相对位置。包括物体相对于观察者的位置、物体与物体的相互位置以及物体在某一参照系下的位置。这方面，第一学段的重点是让学生在具体情境中学会观察、描述物体的相对位置。第二学段要求学生用数对表示位置或根据数对借助方格纸确定位置。有必要指出：这里的数对应理解为两个数组成的有序数对， 旨在渗透平面直角坐标的思想方法，为第三学段学习平面直角坐标系作好铺垫。

其二，辨认方向和使用路线图（包括比例尺的应用）。这方面，第一学段的重点在于认识方向，会用方位词描述物体所在方向。“会看简单的路线图”只要求指出每次行进的方向。第二学段则要求用方向和距离两个要素描述或确定物体的位置，进而运用方向和距离画出路线图，并根据比例尺和图上距离求出实际距离，或者根据比例尺和实际距离求出图上距离。事实上,位置与方向既有区别,又有联系。无论是上下、前后、左右还是东、南、西、北,都既可以用来描述物体的相对位置,又可以用来说明方向。例如,“我在你的东边”,向东走”,前者表示相对位置,后者表示方向。此外,描述路线时,物体的位移,沿着道路前进可以看作平移,到某地点拐弯则相当于旋转。②这又是“位置”与“变换”的内在联系。

经过梳理,可以知道,“图形与位置”的教学内容需要理解的“知识性内容”所占比重较小,主要是建立方位词的使用和图示方式与方法,要突出的是操作技能,教材的设计也都更倾向于贴近现实生活。

组织“图形与位置”内容的教学时,要以发展学生的空间观念、推理能力、应用意识为核心,努力引导他们从已有的生活经验出发,充分经历在现实情境中描述方向、确定位置逐步过渡到在平面图上描述方向、确定位置的过程,把看图描述与动手操作有机结合,突出数学知识和方法的内在联系,重视不同知识和方法的综合应用,帮助他们在掌握基础知识、形成必要技能的同时积累学习经验,感悟数学的基本思想。

1从学生已有的生活经验引入相关的数学方法。“图形与位置”的教学内容与日常生活密切相关,源于生活又应用于生活。教学时,一方面要引导学生借助生活经验理解和掌握相关的数学方法;另一方面也要通过创设合适的问题情境使他们意识到用生活中的某些方式描述方向或确定位置时存在一定的模糊性或不确定性,要想更加准确地描述方向、确定位置,就要引入更加清晰的规则。如四年级下册教学“用数对确定的位置”时,在出示魔法石场景于图之后,让学生联系生活经验试着猜猜图中魔法石所在的位置,在交流中逐步意识到“因为没有统一约定第几排和第几个的数法,所以同个位置就会出现不一样的说法;要想更加清楚地说明图中魔法石的位置,就要统约定具体的数法”。由此告诉学生:图中的每个竖排叫做“列”,每个横排叫做“行”;确定第几列一般要从左往右数,确定第几行一般要从前往后数;说明某个位置时通常先要说明在第几列,接着说明在第几行。同时,再次要求学生根据上述规则重新描述图中魔法石的位置,体会按约定的规则进行表达“既准确又方便”。在此基础上,引导学生将“第几列第几行”的表达方式进一步抽象为有序的数对,体会给出的数对与图中的位置是对应的,每个数对都对应着唯一的位置,每个位置也都对应着唯一的数对。

如六年级下册教学“用方向和距离确定位置”的教学中,汤老师创设了在大海上救援舰驶往目的地救援出事轮船的情境。舰长需要确定轮船的位置前往救援,让学生根据已有的生活和知识经验描述出事轮船的位置。学生凭借经验认为需要知道轮船的方向和距离,运用已有知识确定轮船在救援舰的东北方向。按照位置描述,学生满怀期待地看着救援舰向东北方向航行,但是结果并没有找到轮船。在问题情境中诱发了矛盾冲突:为什么按照描述的轮船位置却找不到轮船呢?学生在观察与交流后感受到:原来东北方向是一大片区域,范围太大了!在问题驱动下,学生发现了用“东南、东北、西南、西北”只能表示大致方向。只告知东北方向,救援舰很难找到轮船。只有告知轮船的精确方向,救援舰才能顺利实施救援。已有的知识储备解决当前问题遇到了瓶颈,“不愤不启,不悱不发”,在问题情境中学生体验到粗略表示方向的不足,自然产生对精确方向的需求。学生能够自主建构运用角度表达方向吗?虽然“北偏东30°方向”和“东北方向”表达差别比较大,但是学生置身于同题情境之中,在任务驱动下会基于知识经验“再创造”。当学生面临认知冲突,体会到东北方向是一大片区域,需要提供轮船的准确方向时,教师让学生充分观察,表达发现:能将轮船的方向表达得更精确些吗?学生会发现轮船接近救援舰的北方,但是又向东偏一些,这是直观而朴素的发现,也是重要的发现。北偏东一点?究竟偏多少呢?教师只要适时地助推一下,学生就能将注意力转移到角度。自发用量角器量出偏的角度后,“北偏东30°方向”的意义学生就能顺利建构。如果对精确方向的探究仅限于此还是片面的,为什么是北偏东而不是东偏北呢?学生迟早会有这样的疑问。教学中,学生的疑问也是教学资源,顺着学生的疑问依势而行可以将探究深人。教师可以让学生探究东偏的角度,体会基准线不同,偏的角度也不同。从两种角度的对比中感受在表示方向时基准线很关键。同时趁机介绍表示方向通常以南北为基准,将学生的多样表达加以规范,消除学生的疑问。

2.重视数学知识和方法的综合应用。

如前所述,“图形与位置”的教学内容与现实生活有着十分密切的联系,具有明显的实践性特质;同时.应用“图形与位置”的知识和方法解决相应的实际问题时往往也会涉及不同领域的知识和方法,其过程具有较强的综合性。为了帮助学生不断丰富和加深对相关知识和方法的理解,逐步提高应用所学知识分析和解决问题的能力,教学时一方面要重视不同知识和方法的综合应用,引导学生从不同角度沟通相关知识之间的联系,更好地把握其数学实质;另一方面,要重视操作性、实践性的活动环节,引导学生主动应用数学的概念、原理和方法解释日常生活现象、解决现实世界里的问题,感受数学与其他学科、数学与日常生活的广泛联系。例如,教学四年级下册“用数对确定位置”的基本方法之后,可以要求学生根据给出的数对在方格图中描出相应的点,并将描出的点按一定的顺序连接起来,看看围成的是什么样的图形,初步感受“数”与形”在一定条件下是可以相互转化的。也可以要求学生根据给出的若干个数对画出相应的行走路线,或用相互关联的若干个数对表示自己设计的不同的行走路线,初步体会“确定位置”与“描述方向”的内在联系,感受它们对于分析和解决实际问题的不同价值。

还可以要求学生利用已有的数对知识自行解释国际象棋中棋子位置的表示方法,以及棋子走动过程的记录方法,进步感受现实生活中蕴含着很多和“图形与位置”有关的问题,用数学的眼光看待这些问题有助于我们获得更为清晰和准确的理解。

又如,教学六年级下册“用方向和距离确定位置”时,一方面要引导学生从对“东北、西北、东南、西南”等方向的已有知识出发,进一步理解“北偏东若干度”、“北偏西若干度”、“南偏东若干度”、“南偏西若干度”等表达方式,初步学会用方向和距离定量刻画平面图中物体所在的位置;另一方面,也要引导学生充分经历根据给出的方向和距离在平面图上表示相应物体位置的过程,帮助他们在动手、动脑、动口的活动中不断加深对相关确定位置方法的理解,感受不同数学知识和方法在分析问题、解决问题过程中的作用。此外,还应结合所学内容以及学生熟悉的生活情境实实在在地组织相关的实践性活动。例如,在一张中国地图上先找到首都北京的位置,再找出自己家乡所在的城市或地区的位置,并通过实际的测量、计算,试着说明自己家乡所在的城市或地区相对于北京的方向和距离;根据学校的校园平面图,试着向自己的爸爸、妈妈介绍从校门口到自己所在班级的行走路线,进一步感受方向、距离等基本要素在描述行走路线过程中的作用,等等。

3.在确定位置的过程中发展学生数学素养

虽然数学素养的发展不是一蹴而就的,需要在长期的数学学习过程中渗透积累、内化,但是每一节数学课或每一项数学内容的学习都承载着发展学生数学素养的任务。图形与位置教学可以发展学生的哪些数学素养?在教学中怎样落实呢?（1）培养空间观念。“用方向和距离确定位置”是小学数学中“图形与几何”领域的内容,所以培养学生的空间观念是重要的教学目标。学生的空间观念和现实生活紧密相连,丰富的现实原型是学生获取空间知识的源泉。创设海上救援舰救援出事轮船的现实情境有利于调动学生的生活经验,自觉运用方向和距离确定轮船的位置,使确定位置的两个要素—方向和距离成为学生的自然选择,利用生活原型有效促进学生空间观念的发展。教学中,看图描述位置、根据位置寻找物体等多样的学习活动使学生经历了观察、操作、交流、表达的过程,积累了丰富的空间表象。为了让学生认识到位置的相对关系,练习中安排了宝藏在山洞的北偏西40度方向，让学生在对比中强化认识:随着观测点的变化,物体位置的描述也会发生变化,物体之间的位置关系是相对的。

(2)培养探究能力。让学生经历知识的获取过程,培养学生的探究能力具有特别重要的意义。在学生运用已有的方向和距离的相关知识经验描述轮船的位置,发现救援舰找不到轮船,认知冲突的形成自然激发了学生的探究愿望:为什么这样确定轮船的位置不行?交流后认识到东北方向只是一个大致方向,要找到轮船,需要知道轮船的精确方向。怎样描述轮船的精确方向呢?给学生时间与机会,让学生围绕教师提出的问题充分观察、交流、发现,学生会自主探究出用角度描述方发现,学生会自主探究出用角度描述方向,用方向和距离确定精确的位置。这样的探究活动能使学生体验到学习成功的乐趣,培养学生的数学探究能力。

（3）培养抽象能力。抽象是指从众多的事物中抽取出共同的、本质性的特征而舍弃其非本质特征的思维过程。数学在本质上研究的是抽象的对象是对空间形式和数量关系的抽象。在“用方向和距离确定位置”的教学中,应该帮助学生抽象出数学内容的本质,引导学生经历数学化的过程。在学生掌握用方向和距离确定位置的方法后,教师引导学生比较用数对确定位置与用方向和距离确定位置的相同点、不同点,发现两种确定位置的方法都是通过两个要素确定方向,然后结合课件动态演示,发现一个要素确定一条线。用数对确定位置是两条直线相交确定一个点;用方向和距离确定位置时,已知方向确定一条射线,已知距离确定一条圆弧射线和圆弧相交确定一个点。这样促成学生的思维由直观到抽象发展,就提升了数学抽象能力。

总之,“图形与位置”的教学内容既与日常生活息息相关,也蕴涵了较为丰富的数学思想方法。教学时,要准确理解内容本质,恰当把握教学要求,精心创设问题情境,合理组织活动过程。只有这样,才能引导学生在理解知识、掌握方法的同时获得更多有价值的体验和感悟。